Puede que las dos ramas de la hipérbola tiene más de un común normal?

Question

Hoy he aprendido que las dos ramas de la norma hipérbola $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ no tienen en común la tangente, pero sólo tienen en común el normal ($y=0$). Así que me preguntaba si si tiene más de uno común, normal.

Empecé por tomar dos parámetros de los puntos de $P(\theta_1)$$Q(\theta_2)$. Sabemos que un general de la pendiente de la normal está dado por: $-\frac ab\sin\theta$. Ajuste de inclinación en ambos puntos de la igualdad obtenemos: $\sin\theta_1=\sin\theta_2$. Esto implica $\theta_1=\theta_2=0$ (un caso que ya hemos cubierto) o $\theta_1+\theta_2=\pi$.

Sin embargo, una rápida desmo gráfico muestra que las normales he calculado en cambio son paralelas y no-intersección: (para$\theta_1=30^\circ$$\theta_2=150^\circ$)

Por lo tanto, es cierto que las dos ramas de la hipérbola tener no más de un común normal? O deja algunos cálculos en mi paso?

Answer 1

Intuitivo: tomar un punto de $P$ en la pieza izquierda, por debajo de la horizontal. Tomar la normal a esa rama en ese punto. Apuntará hacia abajo, de modo que si se cruza a la derecha de la pieza, será un punto inferior de $P'$. Ahora tome la normal a la derecha de la pieza en que punto de $P'$. Se irá inferior de derecha a izquierda. Así que si se cruza a la izquierda de la pieza, que será en un punto de $P''$ inferior a la $P'$, y disminuir así que $P$, por lo que no puede volver a $P$.

En general, si tenemos dos convexo cerrado regiones con suave límites que son distintos, entonces ellos tienen un común normal $AB$. De hecho, podemos considerar los puntos de $A$, $B$ en cada una de las regiones que están más cerca. Supongamos, además, que la línea de $AB$ se cruza con el de cada región a lo largo de una mitad de la línea y al menos uno de la región es estrictamente convexa. A continuación, $AB$ es el único común normal. La prueba es la misma.

Answer 2

Lo que hemos hecho hasta ahora es correcta, pero incompleta. Hasta ahora hemos encontrado pares de puntos para los que las normales a las hipérbolas tienen la misma pendiente, pero no ha demostrado que las normales en estos puntos coinciden.

Esto sugiere otra forma de buscar en común normales: buscar puntos de $P$ $Q$ sobre la hipérbola para que la línea a través de ellos también es la normal en ambos puntos.

Answer 3

Dos normales erigido en los puntos de la misma rama no son ni siquiera paralelo. Dos normales erigido en puntos de $P_{\rm left}$ $P_{\rm right}$ en los diferentes lados de la $y$ejes se cruzan las $x$-eje en dos diferentes puntos de $x_{\rm left}<-a$$x_{\rm right}>a$, excepto el común de la normal $y=0$.