¿Por qué se utiliza el subgrupo opuesto de Borel?

Question

Al leer algunos artículos sobre variedades bandera, a veces encuentro algunos comentarios que mencionan el subgrupo opuesto de Borel. Parece que la gente lo hace cuando considera un grupo algebraico. A mi entender, es sólo una convención, pero me resulta muy confuso porque no entiendo la motivación.

Por ejemplo, lo siguiente es de la página 3 de Haces de líneas en las variedades de Bott-Samelson por Lauritzen y Thomsen. Aquí, $G$ es un grupo algebraico lineal semisimple y simplemente conectado sobre un campo algebraicamente cerrado, y $B$ es un subgrupo de Borel.

Es bien sabido que $\mathcal{L}_{G/B}(\lambda)$ se genera globalmente exactamente cuando $\lambda$ es dominante con respecto al subgrupo de Borel opuesto a $B$ (o, por el contrario, el $\langle \lambda, \alpha^\vee \rangle \geq 0$ para todas las raíces simples $\alpha \in S$ ).

Pensé que $\lambda$ es dominante si y sólo si $\langle \lambda, \alpha^\vee \rangle \geq 0$ . Pero por qué respecto al subgrupo de Borel opuesto a $B$ ? ¿Esto se debe a la convención relativa a los subgrupos de Borel opuestos, o es sólo un error tipográfico?

Estoy más familiarizado con los grupos de Lie y prácticamente no sé nada de los grupos algebraicos. ¿Existe alguna referencia básica que explique en detalle este tipo de convención? ¿Por qué es necesaria esta convención o tiene alguna ventaja?

Answer 1

La mejor razón que he visto para necesitar ambos Borels es que hace que la inducción funcione correctamente. Supongamos que $B^+$ es el Borel con el que medimos los pesos, donde todos los $1 + e_i$ elementos vivos, y $B^{-}$ es el opuesto de Borel, con todos los $1 + f_i$ 's. He aquí una idea bastante aproximada de por qué la inducción a través del Borel opuesto "hace lo correcto":

Dejemos que $\lambda$ sea un peso cualquiera, forman la representación unidimensional $k_\lambda$ de $B^-$ e inducir esto hasta $G$ . Recordemos que en la categoría algebraica, la inducción a través de $B^-$ se trata de llevar secciones del paquete asociado al principal $B^-$ -Asamblea $G \to G/B^-$ pero después de desenrollar esta definición, encontramos que la representación inducida es un subespacio del espacio de mapas regulares $G \to k_\lambda$ satisfaciendo algunas condiciones:

$$ \mathrm{Ind}_{B^-}^G k_\lambda = \{f: G \to k_\lambda \mid f(bg) = bf(g) \text{ for all } b \in B^{-} \}$$

Cualquier vector de mayor peso $f$ (por definición) satisface $f(u) = (u \cdot f)(1) = f(1)$ para todos $u \in U^+$ el radical unipotente de $B^+$ . Porque $B^- U^+$ es denso en $G$ (este es el punto crucial, y ciertamente no es cierto para $B^+ U^+$ ), todos los valores de un vector de mayor peso $f$ están determinados por $f(1)$ ya que $f(bu) = \lambda(b) f(u) = \lambda(b) f(1)$ para todos $b \in B^-$ , $u \in U^+$ .

Y así vemos que el espacio de vectores de mayor peso es a lo sumo unidimensional, generado por cualquier $f \in \mathrm{Ind}_{B^-}^G k_\lambda$ con $f(1) \neq 0$ . Además, la acción de $B^-$ determina completamente los valores de $f$ en todas partes, y nos da un método para construir $f$ Si supiéramos muchas cosas sobre la geometría de $G/B^-$ . Resulta que esto se puede hacer precisamente cuando $\lambda$ es dominante (para una referencia un tanto intelectual, véase http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/bwb.pdf ).

La forma en que pienso en esto es que la inducción a través de $B^-$ "tira hacia abajo" los vectores de mayor peso en una representación, mientras que la inducción a través de $B^+$ "tira hacia arriba" de los vectores de menor peso, por lo que invierte la condición de dominancia.