Relación entre la Hipótesis continua y Especial Aleph Hipótesis en virtud de ZF

Question

Especial Aleph Hipótesis AH(0) es la afirmación de $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, es decir, hay un bijection de$2^{\aleph_0}$$\aleph_1$.

Hipótesis continua CH es la reclamación $\aleph_0 \leq \mathfrak{a}< 2^{\aleph_0} \Rightarrow \mathfrak{a}=\aleph_0$, es decir si hay una inyección de$\aleph_0$$\mathfrak{a}$, una inyección de $\mathfrak{a}$ $2^{\aleph_0}$y sin inyección de$2^{\aleph_0}$$\mathfrak{a}$, entonces no es un bijection de$\aleph_0$$\mathfrak{a}$.

AH(0) y CH son conocidos por ser equivalente en ZFC. Lo que si no suponemos el Axioma de Elección? En virtud de ZF, se sabe que AH(0) $\nRightarrow$ CH o CH $\nRightarrow$ AH(0)?

Answer 1

25 de enero de 2012: "he encontrado un error en uno de los argumentos, no es importante para la respuesta (de hecho es de plano irrelevante) pero debo volver a escribir esta respuesta de todos modos.

La respuesta corta es que $AH(0)$ implica $CH$ bajo $ZF$, pero es improbable de $CH$ bajo $ZF$ solo.

$\boxed{ZF\vdash AH(0)\rightarrow CH}$:

Supongamos $2^{\aleph_0} = \aleph_1$, supongamos $\frak a$ es un conjunto cuya cardinalidad es entre el $\aleph_0$ y $2^{\aleph_0}=\aleph_1$. $\frak a$ puede ser bien ordenado (puede ser inyectado en un ordinal) y por lo tanto tiene la cardinalidad de algunos aleph número. Si no es $\aleph_1$, entonces tiene que ser $\aleph_0$.

Así, en $ZF$ que $AH(0)\rightarrow CH$.

De ahí que no es coherente con $ZF$ que $CH\rightarrow\lnot AH(0)$. También tenemos que es relativamente consistente a $ZF$ que $AH(0)\land CH$ es cierto.

$\boxed{ZF\nvdash CH\rightarrow AH(0)}$:

Nos presentan un modelo en el que $CH$ es cierto, pero $AH(0)$ es falso. Tenga en cuenta que esto implica que $\aleph_1\nleq2^{\aleph_0}$. Tal resultado puede ser alcanzado cuando el continuum de ser una contables de la unión de conjuntos contables o la presencia de un cardinal inaccesible (que es un ligero aumento en la consistencia de la fuerza).

Sorprendentemente, en el Feferman-Levy modelo en el que la continuidad es un contable de la unión de conjuntos contables $CH$ falla. Existe un conjunto de números reales, que es incontable, pero no hay inyección de $2^\omega$ en el conjunto de [1, Observación 3.4].

Considere ahora el Solovay modelo de $ZF$, comenzamos con un cardinal inaccesible y terminar con un modelo en el que cada subconjunto de los reales es Lebesgue medible. Es también un modelo de la afirmación "Toda la multitud innumerable de reales tiene un conjunto perfecto", donde perfecta conjuntos de siempre contienen una copia del conjunto de Cantor y por lo tanto tienen cardinalidad del continuo. De hecho, el Braguero demostrado en [2] que la repetición de la Solovay la construcción de cualquier límite cardenal resultados en un modelo donde el conjunto perfecto posee propiedad, y $AH(0)$ falla, el inaccesible es redundante para esta prueba.

Cada conjunto de reales, de tal modelo, ya sea contable o de cardinalidad del continuo. En particular, $CH$ tiene, sino $AH(0)$ no.

Por lo tanto, en un modelo de $ZF$ (sin elección) exactamente una de las opciones que tiene:

1. $CH\land AH(0)$,
2. $CH\land\lnot AH(0)$ (Solovay del modelo, y el Braguero modelos),
3. $\lnot CH\land\lnot AH(0)$ (Feferman-Levy modelo).

Esto demuestra que $CH$ no puede probar o refutar $AH(0)$. Nota, por cierto, que la primera y la tercera de las opciones se pueden encontrar en los modelos de elección, como la de Gödel edificable universo y de Cohen de la construcción en donde la continuidad hipótesis de falla; este último puede ser demostrado en modelos como el de Cohen primer modelo, donde hay una gran Dedekind-conjunto finito de números reales. Sin embargo podemos ver más aquí: la afirmación de $\aleph_1\leq2^{\aleph_0}$ es improbable de $ZF$.

---

Bibliografía:

1. Miller, A. Un Dedekind Finito Conjunto De Borel. Arch. De matemáticas. La lógica de 50 (2011), no. 1-2, 1--17.

2. El braguero, J. Modelos de la teoría de conjuntos que contienen muchos perfecto conjuntos. Ann. De matemáticas. La lógica de 7 (1974), 197-219.

Answer 2

También podría ser vale la pena mencionar también que se sabe que es relativamente consistente con $ZF+\neg AC$ que hay infinitas Dedekind finito de conjuntos de reales, es decir, un conjunto $A\subset\mathbb{R}$ que es infinito, pero que no tiene contables subconjunto. Tal conjunto es incontable, con cardinalidad estrictamente menor que el continuo, pero es incomparable en la cardinalidad con $\aleph_0$. En otras palabras, es relativamente consistente con $ZF+\neg AC$ que es la cardinalidad de a $\frak{a}$ $\frak{a}\lt 2^{\aleph_0}$ $\frak{a}$ no es finito (y aun $\frak{a}$ es incontable), sin embargo,$\aleph_0\not\leq\frak{a}$. En otras palabras, el hecho de saber un set $A$ es incontable, uno no puede concluir en ZF (a menos que sea inconsistente) que $\aleph_0\leq |A|$. Muchos respecto a la existencia de tales cardinalidades como incluso peor que el tipo de contraejemplos para que su pregunta está pidiendo.