Un ejemplo de un bivariante pdf, donde marginales son distribuciones triangulares

Question

Lo que podría ser una forma de $$f_{X,Y}(x,y)$$ donde $f_X(x)$ $f_Y(x)$ ambos tienen la forma de una distribución triangular con el apoyo $(0,1)$, pero con diferentes parámetros que rige la ubicación de modo?

Algunos de discusión en los que se podían encontrar en

Eagleson, G. K., Lancaster, H. O.: La regresión del sistema de las sumas con elementos aleatorios en común. Diario australiano de Estadísticas 9, 119-125 (1967)

y

Balakrishnan, N, Lai, La Barbilla-Diew: Continua Distribuciones Bivariadas (2009)

Answer 1

Una buena manera de hacer esto es utilizar copulae.

En tu caso:

• deje $X \sim \text{Triangular}(0,1)$ con pdf $f(x)$ y el parámetro de $b$, y

• deje $Y \sim \text{Triangular}(0,1)$ con pdf $g(y)$ y el parámetro de $c$:

con cdf $F(x)$$G(y)$:

... donde yo estoy usando el Prob (función de la mathStatica paquete de Mathematica) para automatizar la nitty-gritties de la cdf de cálculo.

A continuación, defina una función de cópula, la cual es una función de las dos cdf $F$ $G$ que crea un bivariante conjunta de la función de distribución (cdf) de$F$$G$, de tal manera que el marginal pdf de $X$ $Y$ aún $f$ $g$ respectivamente. Aquí, yo uso un Morgenstern cópula con el parámetro $\alpha$ que induce la correlación (hay muchos, muchos otros Cópula funciones disponibles):

Deje $h(x,y)$ denotar la bivariante Triangular conjunta pdf obtenido a través de un Morgenstern cópula. Aquí podemos diferenciar la función de Cópula (joint cdf) para derivar la articulación pdf $h(x,y)$:

El siguiente diagrama ilustra la articulación pdf $h(x,y)$ cuando $b = \frac12$, $c = \frac34$ y $\alpha = 0$ (independiente):

Aquí es la misma parcela al $\alpha = -1$: