Probar el límite de la propiedad de un "random" con el pie/problema con el juego

Question

Supongamos que una persona desempeña una secuencia de juegos independientes. En el $n$th juego, juega con el igualmente con $n$ otras personas, obteniendo $n$ unidades de dinero con una probabilidad de $\frac{1}{n+1}$, perdiendo $1$ unidad de dinero de otra manera.

Ahora podemos formular de la siguiente manera. Supongamos $(X_n)_{n\geq1}$ son independientes de las variables aleatorias con $\mathbb{P}(X_n=n)=\frac{1}{n+1}$$\mathbb{P}(X_n=-1)=\frac{n}{n+1}$. Obviamente es un juego justo. Nota ganando total como $G_n=\sum_{i=1}^n X_i$, demuestran que, a $\liminf_n G_n=-\infty$$\limsup_n G_n=+\infty$.

Puedo probar el segundo, con la ayuda de Borel-Cantelli Lema, mostrando que $\{X_n=n\}$ ocurre infinidad de veces, pero me siento pegado al tratar con la primera. Alguien puede ayudar? No importa por cuál de los métodos. Tengo la esperanza de que se puede generalizar en algún sentido.

No sé si podemos utilizar los conocimientos de la martingala, ya que estamos tratando de probar algunos de los 'malos' de la propiedad (divergencia) de $G_n$.

Answer 1

Creo que martingales puede ayudar.

Deje $a, b$ ser tal que $a < 0 < b$. Definir $T_a = \inf \{n : G_n = a\}$ $T_b = \inf \{n : G_n \geq b\}$ (necesitamos $\geq$ aquí porque el proceso puede saltar por encima de las $b$). Deje $T = \min\{T_a, T_b\}$.

Reclamo: $T \leq 2(b-a)$ con una probabilidad de 1. Prueba: Si $T > b-a$,$a < G_{b-a} < b$. Considere el siguiente $b-a$ pasos; el jugador pierde toda la próxima $b-a$ juegos y sus ganancias caen por debajo de $a$, o ganar al menos una vez y $G_n$ superará $b$ si ya no lo ha caído por debajo de $a$ (debido a que sus ganancias en este punto son, al menos,$b-a$).

Tomamos nota de que $G_T = a \cdot 1_{T_a < T_b} + G_{T_b} \cdot 1_{T_b < T_a}$, y claramente $G_{T_b} \geq b$. Desde $T$ es uniformemente acotada, podemos aplicar el opcional detener el teorema de ver que $\mathbb E[G_T] = 0$. Por lo tanto: $$ 0 = \mathbb E[G_T] \geq \cdot \mathbb P(T_a < T_b) + b \cdot \mathbb P(T_b < T_a) $$ y desde $\mathbb P(T_b < T_a) = 1 - \mathbb P(T_a < T_b)$, esto demuestra que \begin{align*} 0 &\geq a \mathbb P(T_a < T_b) + b(1 - \mathbb P(T_a < T_b)) \\ \implies \mathbb P(T_a < T_b) &\geq \frac{b}{b-a}. \end{align*}

Desde aquí; la revisión de un arbitrario $a$, y el uso de su observación anterior de que la $\limsup G_n = \infty$ para tener un límite del cálculo anterior como $b \to \infty$, y sostienen que $T_a < \infty$ con una probabilidad de $1$.

Answer 2

Para demostrar que $\liminf G_n=-\infty$, supongamos lo contrario. Con el fin de tener $\liminf G_n$ ser algún número finito, $k$, necesitaríamos $G_n$ a la igualdad de $k$ infinidad de veces, pero igual $k-1$ sólo un número finito de veces. Esto tiene una probabilidad cero de que se produzca, porque $P(G_{n+1}=k-1|G_n=k)=\frac{n+1}{n+2}\ge 1/2$.

La misma lógica de la prueba $\limsup G_n=+\infty$. Es decir, una vez que nuestro protagonista ha acumulado $k$ de dólares, que van a ganar de nuevo, y la gran victoria va a compensar las pérdidas en el medio, impulsando sus ganancias a algún valor $k'>k$. Ya que esto ocurre infinidad de veces, que tendrá una secuencia de las ganancias de la $k<k'<k''<\dots$ convergentes a $+\infty$.