La distancia entre dos ciudades en la Tierra

Question

Barcelona (España), tiene las coordenadas (aprox): $\theta = 2^\circ$, $\phi = 41^\circ$, y de Nueva York, tiene las coordenadas: $\theta = −74^\circ$, $\phi = 41^\circ$. Observe que ambas ciudades se encuentran en la misma latitud, lo que hace que los cálculos más fácil. Para los cálculos, uso de la Tierra radio de la $R = 6378$ km, y dar a todos el resultado en kilómetros.

1. En la mayoría de los mapas, el ingenuo 'línea recta' entre Barcelona y Nueva York se encuentra en la línea de latitud $\phi = 41^\circ$. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades a lo largo de esta línea?

2. ¿Cuál es la distancia más corta entre las dos ciudades?

   Sugerencia: Observe que está determinada por el ángulo de Barcelona–el centro de la Tierra–Nueva York. Utilice el hecho de que el ángulo de $\psi$ entre los dos vectores unitarios $nA$ $nB$ satisface $\cos \psi = nA \cdot nB$.

   Sugerencia: Observar que ambas curvas son partes de círculos. Gracias a esto, usted puede evitar la integración del todo.

Para la primera parte, estoy tratando de tomar la distancia Euclidiana. \begin{eqnarray} x &=& R\cos\theta\cos\phi \\ y &=& R\cos\theta\sin\phi \\ z &=& R\sin\theta, \end{eqnarray} El uso de este, me da las coordenadas de nueva york y Barcelona.

Nueva York: $(x, y, z) = (2620.58, 421.01, 5799)$

Barcelona: $(x, y, z) = (-1081.34, -173.72, 6283.26)$

Si trato de encontrar la distancia por la ecuación

\begin{eqnarray} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{eqnarray}

Puedo obtener 3780 km.

Estoy haciendo este derecho? Me siento un poco perdida porque esta "ingenuo" a distancia difiere mucho de la real (es decir, 6157 km)

De Euler-Lagrange ecuación es este: \begin{eqnarray}ϑ˙^2 cos ϕ sin ϕ/ \sqrt{ϕ˙^2 + ϑ˙^2 cos^2 ϕ} + d/dt ϕ˙^2 \sqrt{ϕ˙^2 + ϑ˙^2 cos^2 ϕ} = 0 \end{eqnarray}

Answer 1

Tener cuidado. Todos los ángulos se miden en radianes. De acuerdo con la pregunta $\phi$ significa que la latitud ($=\frac{\pi}{2}-\text{polar angle}$) y $\theta$ significa que la longitud (ángulo azimutal).

Si uno considera que la Tierra es una bola, la ruta más corta es: $$ d=R\arccos(\sin\phi_1\sin\phi_2+\cos\phi_1\cos\phi_2\cos(\theta_2-\theta_1)), $$ el argumento de $\arccos$ siendo el producto escalar de los vectores unitarios, dirigido desde el centro de la Tierra a los puntos en la superficie.

El "ingenuo ruta" para $\phi_1=\phi_2\equiv\phi$ tiene una longitud de: $$ d^*=R(\theta_2-\theta_1)\cos\phi. $$

En la última expresión de la $0\le\theta_2-\theta_1\le\pi$ es asumido. Generalmente, $\arccos\cos(\theta_2-\theta_1)$ puede ser utilizado en su lugar.

Answer 2

El uso que la longitud de la cuerda y el radio de la Tierra para determinar la longitud de arco alrededor de la trayectoria curva.

Answer 3

Utilizando la ecuación de la distancia que usted va a obtener la "línea recta la distancia" si estás aburrido un agujero a través de la tierra.

El radio de la $41^\circ$ paralelo es $R\cos 41^\circ$

Y la distancia que una persona podría viajar si siguen este arco se esta radio de veces la longitud recorrida en radianes: $(R\cos 41)(\frac {76 \pi}{180})$

El gran círculo en el camino...

$a\cdot b = \|\|\|b\| \cos \psi\\ (R\cos 74^\circ\cos 41^\circ, R\cos 74^\circ\pecado 41^\circ, R\pecado 41^\circ)\cdot(R\cos -2^\circ\cos 41^\circ, R\pecado -2^\circ\cos 41^\circ, R\pecado 41^\circ) = R^2(\cos 76^\circ\cos^2 41^\circ + \sin^2 41^\circ)\\ \psi = \arccos (\cos 76\sin^2 41 + \cos^2 41)\\ D = R\psi$

Answer 4

Cortar de la Tierra a lo largo de su centro $O$ y las dos ciudades $N$ $B$ para obtener un círculo con el radio de $R$ y el ángulo de $\measuredangle BON=76^\circ$.

a) La longitud de la cuerda $BN$ es: $$BN=\sqrt{NO^2+BO^2-2NO\cdot BO\cdot \cos{\measuredangle BON}}=\\ \sqrt{2\cdot 6378^2-2\cdot 6378^2\cdot \cos{76^\circ}}\approx 7853.38 \ \text{km}.$$ Nota: El Teorema del Coseno se aplica en el triángulo $\Delta BON$.

b) La longitud del arco $BN$ es: $$l_{BN}=2\pi R\cdot \frac{\alpha^\circ}{360^\circ}=2\pi\cdot 6378\cdot \frac{76^\circ}{360^\circ}\approx 8460.1 \ \text{km}.$$