Así que creo que esta es realmente una pregunta abierta, porque está tan estrechamente relacionado con la irracionalidad de la medida de $\pi$. Esencialmente estamos preguntando si $k$ puede ser realmente cerca de un número de la forma $n\pi + \pi/2$, debido a que es una condición necesaria para tener $\sin k \approx 1$. De hecho, necesitamos tener $\sin k \approx 1$ a un error que es controlado incluso después de subir al poder $k$. Esto es bastante delicado.
Podemos escribir aproximaciones racionales de $\pi/2$. En particular, supongamos que podemos encontrar una secuencia de números racionales tales que
$$\left|\frac{\pi}{2} - \frac{p_j}{q_j}\right| \le \frac{1}{q_j^{2 + \mu}}.$$
para algunos $\mu > 0$ (equivalentemente, que la irracionalidad medida de $\pi$ es estrictamente mayor que $2$).
Sin pérdida de generalidad, $q_j$ es impar. En ese caso, tenemos
$$\left|p_j - q_j \frac{\pi}{2}\right| \le \frac{1}{q_j^{1 + \mu}} \implies \left|p_j - (2n_j + 1)\frac{\pi}{2}\right| \le \frac{1}{q_j^{1 + \mu}}$$
para algunos entero $n_j$. Ahora $p_j$ es nuestro candidato índice; hemos
$$1 - |\sin p_j|^{p_j} \le 1 - \left(1 - \frac 1 {q_j^{1 + \mu}}\right)^{p_j} \approx \frac{p_j}{q_j^{1 + \mu}} \approx \frac{1}{q_j^{\mu}} \to 0$$
como $j \to \infty$. En este caso, el supremum de $\{(\sin p_j)^{p_j}\}$ es igual a $1$.
Por otro lado, supongamos que hay un $\epsilon > 0$ tal que para todo lo suficientemente grande $p, q$ que hemos tenido
$$\left|\frac{\pi}{2} - \frac p q\right| \ge \epsilon \frac{1}{q^2}.$$
Entonces podemos jugar el mismo juego, encontrando que
$$1 - |\sin p|^p$$
está delimitado por debajo, y así el supremum está a menos de $1$.
