El $2$-categoría de monoids

Question

La gente dice a veces que monoids son "categorías con un objeto". De hecho, la gente a veces sugieren que esta es la definición de un monoid (y de la misma manera "groupoid con un objeto", como la definición de un grupo).

Pero las categorías naturalmente formar un $2$categoría $\mathbf{Cat}$. Así que si tomamos la definición anterior, en serio, entonces veríamos monoids como la formación de una $2$categoría $\mathbf{Mon}$. Los objetos sería monoids y los morfismos sería monoid homomorphisms, pero también iba a ser $2$-morfismos entre homomorphisms. Un $2$-morfismos entre el $f,g:M\to N$ $n\in N$ tal que $nf(m)=g(m)n$ todos los $m\in M$.

Si uno toma el principio de la equivalencia en serio, entonces esto plantea un problema, porque perdemos la capacidad de hablar acerca de la "base" de un monoid. No $2$-functor $U:\mathbf{Mon}\to\mathbf{Set}$ (tratamiento de la $\mathbf{Set}$ $2$- categoría sin trivial $2$-morfismos) que envía cada monoid su conjunto subyacente y cada homomorphism a su función subyacente. En el $1$-categoría de monoids esta sería la aplicación de la functor $\mathrm{Hom}(\Bbb N,-)$. Pero en el $2$categoría $\mathbf{Mon}$ dos homomorphisms $f,g:\Bbb N\to M$ son isomorfos cuando $f(1)=mg(1)m^{-1}$ algunos $m\in M$, por lo que esta construcción sólo nos da el conjunto de clases conjugacy de $M$ más que en el conjunto de sus elementos.

Claramente esto plantea un problema si queremos trabajar con monoids y grupos. En particular, las pruebas que involucran grupos finitos a menudo requieren de la capacidad para contar el número de elementos de un subconjunto de un grupo. Se hace imposible para el estado del Teorema de Lagrange. También perdemos la capacidad de hablar sobre el libre grupo en un conjunto, ya que no se puede construir el adjunto a la inexistente functor $U$.

A la luz de esto, quiero saber si es realmente posible tomar "categoría con un objeto" como nuestra definición de monoid, y aún así ser capaz de demostrar las cosas de una manera práctica. Puedo ver dos maneras de hacer esto:

1) Recuperar la $1$-categoría de monoids de $\mathbf{Mon}$ en algunos de forma natural

o

2) la demostración de que podemos reconstruir la teoría del grupo de una manera que nunca utiliza conceptos como "orden de un grupo" o "grupo libre sobre un conjunto"

¿Alguien sabe una manera de hacer cualquiera de estos?

Answer 1

Primero que todo, incluso el hecho de tener un objeto no es invariante bajo la equivalencia. Así que quizás una monoid es en realidad una categoría con un único isomorfismo de la clase si los objetos. A continuación, la forma en que este tema es tratado en la topología de estudiar un 2-categoría: la de punta categorías, es decir, las categorías con un distinguido objeto, functors la preservación de ese objeto, y naturales de las transformaciones de la identidad en el objeto. Esto soluciona tu problema: la categoría de punta functors entre dos señalado monoids es discreto.

Answer 2

Kevin Carlson respondió a la pregunta, pero pensé que me gustaría añadir mi propia respuesta basada en la suya, con algunos detalles más.

El ($1$- ) $\mathbf{Set}$ vive en el interior de la $2$categoría $\mathbf{Cat}$, cuando la totalidad de los sub-$2$-categoría en las categorías discretas. La inclusión $F:\mathbf{Set}\to\mathbf{Cat}$ tiene un derecho adjoint $U:\mathbf{Cat}\to\mathbf{Set}$ que envía una categoría a su conjunto de clases de isomorfismo.

De modo que una "categoría con un objeto" (o, para respetar el principio de equivalencia, una "categoría con un isomorfismo clase de objetos") es, precisamente, una categoría $\mathcal{M}$ de manera tal que hay un bijection $1\to U\mathcal M$. Ya que no hay en la mayoría de los una de esas bijection podríamos igualmente decir que es una categoría equipado con un bijection $a:1\to U\mathcal M$. Pero como he dicho en la pregunta, esto le da un $2$-categoría no $2$-morfismos.

En su lugar, la definición correcta es buscar en las categorías equipado con un determinado objeto para los cuales cada objeto es isomorfo. Un objeto es, precisamente, un functor de la terminal de la categoría, y la terminal de categoría es equivalente a $F1$. Así se define un monoid a ser una categoría $\mathcal M$ equipada con un functor $a:F1\to\mathcal M$ que corresponde a un bijection $1\to U\mathcal M$ bajo el isomorfismo $\mathrm{Hom}(F1,\mathcal M)\cong\mathrm{Hom}(1,U\mathcal M)$ dado por la contigüidad.

Basado en esta definición, tiene sentido decir que una de morfismos entre monoids $f:(\mathcal M,a)\to(\mathcal N,b)$ es una función de $f_1:1\to 1$ y un functor $f_2:\mathcal M\to\mathcal N$ tal que $f_2\circ a\simeq b\circ Ff_1$, y que un 2-morfismos $f\to g$ está dado por las naturales transformaciones $\alpha:f_1\to g_1$ $\beta:f_2\to g_2$ tal que $b\alpha = \beta$. Por supuesto, en realidad hay sólo una función $f_1:1\to 1$ y sólo una transformación natural en él, por lo que esta versión de $\mathbf{Mon}$ es de hecho un $1$-categoría.

El tipo de definición que dimos de arriba es en realidad bastante común en las matemáticas. Dos definiciones similares surgen de la costumbre contigüidad entre el$\mathbf{Set}$$\mathbf{Vect}$. Una base $S$ de un espacio vectorial $V$ es, precisamente, una función de $f:S\to UV$ que la función correspondiente $FS\to V$ es un isomorfismo. Dual de un espacio vectorial estructura $V$ sobre un conjunto $S$ es una función de $FS\to V$ de manera tal que la función correspondiente $S\to UV$ es un bijection.

Por analogía, podríamos decir que un monoid no es una "categoría con un objeto", sino una "estructura de categorías en el conjunto con un solo elemento". Esto da una cierta intuición de por qué monoids solo una $1$-categoría. Categorías naturalmente formulario de $2$-categorías, pero las estructuras basadas en los conjuntos son muy sofisticados para formar $1$-categorías.

De hecho, creo que es la que permitirá a cualquier conjunto de $S$ en lugar de $1$ en la definición de un monoid entonces tenemos una definición de la $1$-categoría de categorías. Así también podemos definir monoids pasando a esta $1$-categoría, y luego busca en la "categorías con un objeto" dentro de ella.