Probar o contradicen: Entre cada una de las dos soluciones de $\arctan x = \sin x$ existe una solución para $1-\cos x = x^2 \cos x$

Question

Probar o contradicen: Entre cada una de las dos soluciones de $\arctan x = \sin x$ existe una solución para $1-\cos x = x^2 \cos x$

Tengo esta pregunta en un examen de muestra y yo no sé ni lo que sería una buena manera de acercarse a este. Yo, sin embargo, trata de encontrar los intervalos donde la diferencia de dos funciones tienen diferentes pendientes o algo, pero no estoy muy seguro..

Answer 1

Para demostrar que se aplican a la versión Estándar del teorema de Rolle para $f\left( x \right)=\arctan \left( x \right)-\sin \left( x \right)$. Enlace

Answer 2

hemos ;

$1-\cos x = x^2 \cos x \implies \cos(x) = \frac1{x^2+1}$

integrar ambos lados ,

$\int\cos(x) \,dx = \int\frac1{x^2+1}\,dx$

$\sin(x) = \arctan(x) $ $\quad $

Nota : estoy omitiendo la constante ,porque desde $0$ es una solución a las constantes son iguales y pueden ser cancelados.

ahora $g(x) = \arctan(x)-\sin(x)=0$

Aplicar Rolles teorema,

ya que en las raíces de los valores son iguales ie $0$, rolles teorema es aplicable, y se demuestra que entre cada uno de los ceros de $\arctan(x)=\sin(x)$ existe una raíz de $1-\cos(x) =x^2\cos(x)$