Estoy tratando de probar la siguiente, pero estoy atascado y no sé cómo continuar. Cualquier ayuda se agradece mucho!
Deje $G$ ser un grupo, $G'=[G,G]$ $G''=[G',G']$ la primera y la segunda derivada de subgrupos y de asumir la $G''$ es cíclico. Demostrar que $G''\subset Z(G')$.
Mi trabajo esta lejos: Desde $G''$ es cíclico, es abelian. Ya que es el colector de un subgrupo de $G'$, también se sabe que $G''$ es normal. Así (usando el teorema de mi plan de estudios), existe un homomorphism $g:G'/G''\to\mathrm{Aut}(G'')$ tal que $g(aG'')=\phi_{a|G''}$ $a\in G'$ donde $\phi_{a|G'}:G''\to G'':x\mapsto axa^{-1}$, con lo que la conjugación de mapa por $a$. Ahora basta la prueba de $\phi_{a|G'}=Id_{G'}$ todos los $a\in G'$.
Pero, ¿cómo demostrarlo? Yo no lo veo. El trabajo que yo hacía hasta este punto sigue una pista de que era dado por la pregunta.
