Por favor, revise mi intento de demostrar un teorema. Los errores que usted punto sería muy apreciado por mí.
Para demostrar el teorema, voy a estar usando el siguiente propiedades que estoy asumiendo que ya han sido probadas.
Propiedades:
- $n|0$ (cada entero se divide $0$)
- $d|n$ $d|m \implies d|(an + bm)$ (linealidad de la propiedad)
- $d|n$ $n \neq 0 \implies |d| \leq |n|$
TEOREMA:
Dados cualesquiera dos enteros $a$$b$, hay un común divisor $d$ $a$ $b$ de la forma:
$$d = ax + by$$
donde $x$ $y$ son enteros. Por otra parte, cada divisor común de a $a$ y $b$ divide $d$.
PRUEBA:
Vamos a hacer una inducción sobre el valor de $|a| + |b|$.
La inducción de la base: Si $a = b = 0$, claramente $d = 0$ y cada entero divide $0$. Así, el teorema es verdadero cuando $|a| + |b| = 0.$
Inducción de la hipótesis: supongamos que el teorema es verdadero al $|a| + |b| < n$ donde $n$ es un número entero.
Inducción: Ahora, veamos lo que ocurre cuando se $|a| + |b| = n.$
Hay dos posibles casos:
- $|b| = 0$.
- $|b| > 0$.
Al $|b| = 0, d = |a|$. Esto puede ser justificado de la siguiente manera. $|a|$ divide $a$$0$. Cada entero que divide $a$$0$, también divide $\text{sgn}(a).a = |a|$.
Al $|b| > 0$, sin pérdida de generalidad, podemos suponer $|a| \geq |b|.$
$|a| = n - |b| < n$.
Por eso, $|a| = (|a| - |b|) + |b| < n$.
A partir de la hipótesis de inducción, existe un número entero $d$ tal forma que:
- $d|(|a| - |b|)$.
- $d|(|b|)$.
- $d = (|a| - |b|)x + |b|y$ donde $x$ $y$ son enteros.
A partir de (1) y (2), $d|(|a| - |b|) + |b|$ o $d|(|a|)$ o $d|\text{sgn}(a).|a|$ o $d|a$.
A partir de (2), $d|(|b|)$ o $d|\text{sgn}(b).|b|$ o $d|b.$
A partir de (3), $d = |a|x + |b|(y - x)$ o $d = a(\text{sgn}(a).x) + b(\text{sgn}(b)(y - x))$.
Si $c|a$$c|b$, a partir de la linealidad de la propiedad,
$c|a(\text{sgn}(a).x) + b(\text{sgn}(b)(y - x))$ o $c|d$.
Q. E. D.
