Formulario para %s

Question

Parece ser que hay bastante agradable valores para bajos valores enteros de a $x$, como sigue:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {1\over (xn)!} \\[1ex] \hline 1 & e \\[2ex] 2 & \cosh(1) \\[2ex] 3 & \displaystyle{e^{3/2} + 2\cos\frac{\sqrt 3}{2} \over 3 \sqrt e} \\[2ex] 4 & \displaystyle\frac12(\cos1+\cosh1)\\ \hline \end{array}$$

(Estos fueron verificados con WolframAlpha.)

Hay alguna forma cerrada para esto, o alguna otra función que puede ser expresada en?

Esto es sólo de interés por el camino; no tengo necesidad imperiosa de una respuesta que, aunque sin duda será apreciado!

Answer 1

Deje $k=1,2,3,\cdots$ ser un fijo entero. Uno puede considerar el conjunto de las raíces $$R_k=\{\omega\in\mathbb C\mid \omega^k=1\}$$ then, for each integer $$n, se tiene$$ \sum\limits_{\omega \en R_k}\omega^n = \begin{cases} k, & \text{if %#%#% (mod %#%#%)} \\ 0, & \text{otherwise} \end{casos} \sum_{\omega \en R_k} e^{\omega z}=\sum\limits_{\omega \en R_k} \sum\limits_{n\ge0}\frac{\omega^nz^n}{n!}=\sum\limits_{n\ge0}\frac{z^n}{n!}\cdot\sum_{\omega \en R_k}\omega^n=k\cdot\sum\limits_{n\ge0}\frac{z^{kn}}{(kn)!} $$ que es

$$\sum_{n\ge0}\frac{z^{kn}}{(kn)!}=\frac1k\cdot\sum_{\omega \en R_k} e^{\omega z}$$

a partir de la cual se deduce la consideran casos con $n=0$.

Answer 2

En 1903, el matemático sueco Gösta Mittag-Leffler introducido las siguientes funciones especiales: $$E_\alpha(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{\Gamma(\alpha n+1)},$$ donde $z$ es un número complejo, $\Gamma$ es la función gamma y $\alpha \geq 0$. El Mittag-Leffler función es un directo de la generalización de la función exponencial a la que se reduce para $\alpha = 1$. Usted puede encontrar más detalles acerca de la función en este artículo.

Podemos expresar su suma en términos de la Mittag-Leffler función como la siguiente. Para un entero positivo $k$, tenemos

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(kn)!} = E_k(1).$$

Tenga en cuenta que para un entero positivo $n$, $\Gamma(n) = (n-1)!$

Answer 3

Asumiendo $x$ es un entero positivo, $$\sum_{n=0}^\infty\frac1{(xn)!}=(e^{1}+e^{\zeta}+e^{\zeta^2}+\dots+e^{\zeta^{x-1}})/x\tag1$$ donde $\zeta$ es una primitiva $x^\text{th}$ raíz de la unidad, por ejemplo,$\zeta=\exp(i2\pi/x)$.

Para ver esto, vuelva a escribir la suma como $$\sum_{n=0}^\infty \frac{[\,x\text{ divide a n}\,]}{n!}\tag2$$ donde $[P]$ es la Iverson soporte, igual a $1$ si $P$ es verdadera y $0$ lo contrario.

Yo reclamo que $$(1+(\zeta^n)+(\zeta^n)^2+\dots+(\zeta^n)^{x-1})/x=[x\text{ divide }n]\tag3$$ Una vez que esto está demostrado, sustituyendo (3) en (2), y la división en varias cantidades, obtenemos varios exponencial de la serie y obtener (1).

Si $n$ es un múltiplo de a$x$,$\zeta^n=1$, por lo que (3) sostiene porque $$1+(\zeta^n)+(\zeta^n)^2+\dots+(\zeta^n)^{x-1}=1+1+\dots+1=x$$ Por otro lado, si $n$ no es un múltiplo de a$x$,$\zeta^n\neq 1$, por lo que podemos utilizar la serie geométrica de la fórmula: $$1+(\zeta^n)+(\zeta^n)^2+\dots+(\zeta^n)^{x-1}=\frac{(\zeta^n)^x-1}{\zeta^n-1}=\frac{(\zeta^x)^n-1}{\zeta^n-1}=\frac{1^n-1}{\zeta^n-1}=0$$ Esto demuestra que ambos casos (3).