Interesante propiedad de la suma de potencias de enteros de 1 a 114.

Question

Cuando tengo esta lista de valores X específicos:

$X: 1, 2, 3, 4, \ldots, 112, 113, 114.$

$$\sum_{n=1}^{114}n = 6555$$

$$6555/19 = 345$$

La suma de estos $X$ valores divididos por $19$ es un número entero.

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Entonces cuadro cada $X$ valor:

$X^2: 1, 4, 9, 16, \ldots, 12544, 12769, 12996.$

La suma de estos $X^2$ valores divididos por $19$ también es un número entero.

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Luego cubro cada $X$ valor, y el patrón continúa.

¿Hay alguna razón para esta propiedad desde el punto de vista matemático? ¿O simplemente existe?

Muchas gracias.

Answer 1

Sugerencia : $$\sum_{j=1}^k j =\frac{k(k+1)}{2}$$ $$\sum_{j=1}^k j^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$

Answer 2

Esto se debe a que $19|114$ .

$\sum_{k=1}^n k = \frac {n(n+1)}{2}$

Y $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac {n(n+1)(2k + 1)}6$ .

Y como $19$ es un número primo que divide a $114$ , $19$ dividirá ambos $\frac {19*20}{10}$ y $\frac {19*20*39}6$ .

En general, si $n = 19*m$ entonces

$\sum_{k=1}^n k = \frac {n(n+1)}2 = \frac {19m(19m + 1)}2 = 19\frac {m(19m+1)}2$ y ya que cualquiera de los dos $m$ es par o $19m + 1$ está en paz, $2|m(19m+1)$ .

Asimismo, $\sum_{k=1}^n k^2 =\frac {19m(19m + 1)(38m + 1)}6 = 19 \frac {m(19m + 1)(38m + 1)}6$ . De nuevo $m$ o $19m + 1$ es incluso así $2|m(19m+1)(38m + 1)$ . Y si $m$ tiene un remanente $0$ cuando se divide por $3$ entonces $3|m$ . Si $m$ tiene un remanente $1$ cuando se divide por $3$ entonces $3|38m + 1$ . Y si $m$ Tiene un remanente $2$ cuando se divide por $3$ entonces $3|19m+1$ Así que $3|m(19m+1)(38m + 1)$ . Así que $6|m(19m+1)(38m+1)$ .

Answer 3

Podemos demostrar que $a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...+a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})$ simplificando el lado derecho al lado izquierdo. Sin embargo, esto sólo es cierto para los enteros Impares $n$ También hay que tener en cuenta que la propiedad ya no es válida si $18|n$ .

En el conjunto $1;2;3;4;5;\cdots;113;114$ :

• El número $114$ es divisible por $19$ , por lo que todas las sumas $1+113;2+112;3+111;4+110;\cdots;56+58$ y el número $57$ son divisibles por $19$

• Aplicando la igualdad anterior, tendremos $1^n+113^n;2^n+112^n;3^n+111^n;4^n+110^n;\cdots;56^n+58^n$ y $57^n$ y $114^n$ son divisibles por $19$ también $\Rightarrow 1^n+2^n+3^n+4^n+\cdots+114^n$ es divisible por $19$ para todos los enteros Impares $n.$