Átomo de hidrógeno, ¿cuál es la ecuación de onda del núcleo del átomo?

Question

Aprendí en la clase sobre la ecuación del electrón del átomo de hidrógeno donde el libro de texto suponía que el centro/núcleo del átomo de hidrógeno estaba fijo en el origen.

Sin embargo, dado que toda partícula era una onda, los núcleos del átomo de hidrógeno (digamos que sólo contienen un protón) también podían verse como una onda.

Mi pregunta era esa:

1. ¿Cuál es la ecuación de onda del protón en el átomo de hidrógeno? ¿Era simplemente una onda viajera cuando el átomo se movía, y una función Delta de Dirac cuando estaba "fijo"? (Además, ¿qué pasaría si hubiera un neutrón?)

2. En el caso de que el hidrógeno estuviera viajando, digamos a lo largo de $x$ eje, ¿habría una influencia/interacción extra hacia la ecuación de onda del electrón?

Answer 1

Básicamente, es la ecuación de Schrödinger para una partícula libre, pero es importante señalar que esa partícula no es el protón, sino todo el centro de masa del átomo.

Este tema se trata con bastante detalle en los libros de texto de mecánica cuántica debidamente rigurosos (aunque no se me ocurre ningún ejemplo concreto en este momento), y la idea básica es la siguiente:

• Se comienza con la ecuación de Schrödinger para las coordenadas electrónicas y nucleares, es decir, con el hamiltoniano $$ H = \frac{1}{2M}\mathbf p_N^2 + \frac{1}{2m}\mathbf p_e^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r_N-\mathbf r_e|}. $$
• A continuación, transformas tu sistema en un nuevo conjunto de coordenadas: una para el movimiento relativo y otra para el centro de masa, \begin{align} \mathbf r &= \mathbf r_e-\mathbf r_N &&& \mathbf R &= \frac{1}{M+m}\left(M\mathbf r_N+m\mathbf r_e\right) \\ \mathbf p &= \frac{M}{M+m}\mathbf p_e-\frac{m}{M+m}\mathbf p_N &&& \mathbf P &= \mathbf p_N+\mathbf p_e. \end{align}
• Se verifica que las nuevas coordenadas satisfacen las relaciones de conmutación correctas (canónicas), es decir, que $[x_j,p_k] = [X_j,P_k] = i\hbar \delta_{jk}$ y $[x_j,P_k]=0 = [X_j,p_k]$ .
• Expresas las coordenadas nucleares y electrónicas como funciones de las coordenadas transformadas, las pones en tu hamiltoniano, y trabajas en la transformación, para obtener $$ H = \frac{1}{2(M+m)}\mathbf P^2 + \frac{1}{2\mu}\mathbf p^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r|}, $$ donde $\mu = \left(\frac1m+\frac1M\right)^{-1}$ es el masa reducida (a su vez muy cerca de $m$ en el límite donde $m\ll M$ ).

Esta descomposición separa completamente su problema dinámico (inicialmente acoplado) en dos subproblemas separados y bastante distintos, el hamiltoniano electrónico habitual, $$ H_\mathrm{el} = \frac{1}{2\mu}\mathbf p^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r|}, $$ y un hamiltoniano de centro de masa dado sólo por el término cinético de la partícula libre, $$ H_\mathrm{COM} = \frac{1}{2(M+m)}\mathbf P^2. $$ Esto se puede utilizar para obtener la ecuación de onda explícita para el movimiento "nuclear" (en realidad centro de masa). En el caso más sencillo, se trata de la partícula libre, pero es fácil ver cómo se puede modificar, por ejemplo,

• incluyen un potencial explícito que aborda específicamente el movimiento nuclear,
• añadir el potencial de un trampa dipolo que funciona añadiendo un $\mathbf R$ -que acopla la resonancia al movimiento electrónico, lo que "congela" ese grado de libertad en un $\mathbf R$ -dependiente del estado básico con un $\mathbf R$ -que actúa como una trampa para el centro de masa, o también
• cuenta el momento de un fotón que es absorbido por los grados de libertad electrónicos ,

entre muchas posibles aplicaciones.

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Ah, y también: nada en mi procedimiento inicial es específico de la mecánica cuántica, y esa separación de variables también está presente en forma esencialmente idéntica (es decir, sólo hay que intercambiar los conmutadores canónicos para una preservación idéntica de los corchetes de Poisson) dentro de la mecánica hamiltoniana clásica.

Answer 2

Por conservación del momento, el centro de masa del átomo es lo que realmente permanece fijo. Esto implica que hay una correlación perfecta entre las funciones de onda $\Psi$ del electrón y $\Phi$ del protón:

$$\Phi(x)=\Psi(-(M/m)x),$$

donde $M$ es la masa del protón y $m$ es la masa del electrón.

El efecto sobre los niveles de energía es sustituir la masa del electrón por la masa reducida.

Answer 3

Escribo esto para complementar la respuesta correcta de @BenCrowell y la, a mi juicio, incompleta de @EmilioPisanty. En mi opinión, y parece que también en la de Ben Crowell, la pregunta del PO iba claramente dirigida al QM descripción de la función de onda del protón en el modelo de hidrógeno.

El enfoque habitual para incluir el efecto del protón en el problema del hidrógeno es desacoplar el Hamiltoniano en el Hamiltoniano para el movimiento de traslación del centro de masa y el Hamiltoniano para el movimiento relativo del electrón y el protón, que tienen la distancia $\vec r=\vec r_\text{e} - \vec r_\text{p}$ que es una coordenada generalizada. (Ver la respuesta de Emilio Pisanty.) Este Hamiltoniano que describe el movimiento relativo es para una única partícula ficticia con carga de electrón con la masa reducida $\mu=\left(1/m_\text{e}+1/m_\text{p}\right)^{-1}$ en el potencial central de Coulomb $\frac {e}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}$ con una distancia $\vec r$ desde el origen. En el marco del centro de masa, este es el único Hamiltoniano necesario para describir el átomo de hidrógeno. Para esto la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se lee: $$H\psi\left(\vec r\right)=\left(\frac {\vec p^2}{2\mu} - \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}\right)\psi\left(\vec r\right)=E\psi\left(\vec r\right) \tag1 $$ Resolviendo esta ecuación de Schrödinger se obtienen todos los valores propios de energía del átomo de hidrógeno, incluyendo el efecto del movimiento del protón. Sin embargo, hay que tener en cuenta que las soluciones de onda $\psi\left(\vec r\right) $ (funciones propias) obtenidas son para esta partícula ficticia de masa reducida $\mu$ que describe el sistema combinado protón-electrón, no para el electrón o para el protón mismo.

Por lo tanto, se plantea la cuestión de si el electrón y el protón pueden describirse por separado con funciones de onda que den, por ejemplo, su distribución de probabilidad espacial, y cómo hacerlo. Ben Crowell ya ha dado una respuesta corta correcta para esto sin una derivación. Intento mostrar cómo se puede obtener esto a partir de las funciones de onda $\psi\left(\vec r\right)$ del sistema de partículas ficticio.

En el marco de referencia del centro de masa, el vector de posición del centro de masa es cero, lo que da como resultado $$m_\text{e}\vec r_\text{e}+m_\text{p}\vec r_\text{p}=0 \tag 2$$ y $$\vec r_\text{e}=-\frac {m_\text{p}}{m_\text{e}}\vec r_\text{p} \tag 3$$ El vector de distancia $\vec r$ puede expresarse mediante el vector de posición del electrón o del protón $$\vec r=\vec r_\text{e} -\vec r_\text{p}=\vec r_\text{e}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{p}}\right)=-\vec r_\text{p}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{e}}\right) \tag 4$$ Por lo tanto, la solución ondulatoria de la ec. (1) da como resultado $$\psi \left(\vec r\right)=\psi\left(\vec r_\text{e}\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{p}}\right)=\psi\left(-\vec r_\text{p}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{e}}\right)\right)$$ Por lo tanto, las funciones de onda para el electrón y para el protón, $\psi_\text{e}\left(\vec r_\text{e}\right)$ y $\psi_\text{p}\left(\vec r_\text{p}\right)$ se obtienen a partir de la función de onda $\psi\left(\vec r\right)$ mediante simples escalas de coordenadas. Y la función de onda del protón está relacionada con la del electrón por el escalado de coordenadas [ec. 2] $$\psi_\text{p}\left(\vec r_\text{p}\right) =\psi_\text{e}\left(-\vec r_\text{e} \frac {m_\text{e}}{m_\text{p}}\right) \tag 5$$

Esto demuestra que las funciones de onda del electrón y del protón pueden derivarse de la función de onda del sistema de masa reducida y que están perfectamente correlacionadas y centradas alrededor del centro de masa, como ha demostrado Ben Crowell en su respuesta. La función de onda del protón es simplemente una versión escalada de la función de onda del electrón. Esto significa, por ejemplo, que en el estado s básico del átomo la densidad de probabilidad de posición máxima del protón se encuentra en una cáscara esférica alrededor del centro de gravedad con radio $$r_\text{p}=\frac {m_\text{e}}{m_\text{p}} r_\text{e} \approx \frac {m_\text{e}}{m_\text{p}}r_{\text{Bohr}}\ \tag 6$$ que es mucho menor que el radio de Bohr.

Te agradecería que me corrigieras o dieras una explicación en caso de que encuentres algo incorrecto en esta derivación complementaria.