Descripción de inducción para matrices
En el primer caso para entender la inducción de la representación trivial $Y(h)=1$ $H$ a su grupo de padres de $G$. El resultado de la inducción son matrices de permutación $X(g)$ describir cómo es $G$ permutes los cosets $G/H$. Cada fila tiene un valor distinto de cero de la entrada, y que la entrada es de la forma $Y(h)$. La ubicación de los distintos de cero de la entrada, se describe la acción de $g$$G/H$.
Para representaciones tridimensionales, tenemos casi la misma cosa, con la excepción de $Y(h)$ no es siempre 1. Aún así obtener un monomio matrices: uno distinto de cero entrada por fila y columna, y los lugares todavía describir la permutación de acción de $g$$G/H$, mientras que el cero entradas están relacionadas con la $Y$ de los "restos".
Para finito de representaciones tridimensionales (dimensión decir $d$), casi la misma cosa, con la excepción de $Y(h)$ no es solo un número, sino una matriz de bloque. Por lo $X(g)$ es un bloque de matriz. Cada bloque es $d \times d$, y en cada fila de bloques de todos, pero uno es cero. El distinto de cero bloques son de la forma $Y(h)$, y la posición es la misma que antes: se describe la permutación de acción de $g$$G/H$.
En detalle: Elija $g_i \in G$ de manera tal que todos los $g \in G$ tiene una representación única de la forma$g_i h$$i \in G/H$$h \in H$. A continuación, $X(G)$ es un bloque de la matriz, cada bloque es indexado por $i,j \in G/H$. Considere la posibilidad de la $j$ésima columna de $X(g)$: $g g_j = g_i h$ para algunos únicas $i \in G/H$ $h \in H$ desde $g g_j \in G$. En el $j$ésima columna, el único distinto de cero de entrada de $X(g)$ $i$th fila, y su valor es $Y(h)$.
Índice de dos diedros caso
Si $g \in H$, entonces la matriz de permutación es $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$ o como una imagen, $\begin{bmatrix} * & . \\ . & * \end{bmatrix}$.
Si $g \notin H$, entonces la matriz de permutación es $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ o como una imagen, $\begin{bmatrix} . & * \\ * & . \end{bmatrix}$.
Voy a elegir a un simple transversal, $g_1 = 1$ $g_2 = g$ a reflexionar $g$, por lo que considero que $G/H=\{1,2\}$. $D_8$ es generado por $g$$z$, por lo que es suficiente para describir sus dos matrices:
Para calcular el $X(z)$, nos fijamos en la primera columna de $z g_1 = z = g_1 z$, por lo que la primera columna tiene sólo un valor distinto de cero de la entrada, $Y(z) = \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$, y es en la primera fila. La segunda columna es similar, $z g_2 = g_2 z^{-1}$, por lo que la segunda columna tiene sólo un valor distinto de cero de la entrada, $Y(z^{-1}) = \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$, y es en la segunda fila.
$$X(z) = \begin{bmatrix} Y(z) & 0 \\ 0 & Y(z^{-1}) \end{bmatrix} = \left[\begin{array}{rr|rr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right]$$
Para calcular el $X(g)$, nos fijamos en la primera columna de $g g_1 = g = g_2 1$, por lo que la primera columna de la segunda fila es $Y(1)$. A continuación, nos fijamos en la segunda columna de $g g_2 = 1 = g_1 1$, por lo que la segunda columna de la primera fila es $Y(1)$.
$$X(g) = \begin{bmatrix} 0 & Y(1) \\ Y(1) & 0 \end{bmatrix} = \left[\begin{array}{rr|rr} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]$$
Una fórmula similar se aplica a todos los diedros de los grupos, la única diferencia es la matriz específica para $Y(z)$ tiene que ser una matriz de rotación de orden $n$, no solo el fin de $4$.
Bastante fórmula similar para todos índice 2 subgrupos, pero tienes que tener cuidado en dos puntos: "$Y(z^{-1})$" realmente es $Y(g^{-1} z g)$ en general, y "$Y(1)$" realmente es $Y(g^2)$, ya que el $g^2 \in H$. También se $H$ no necesita ser cíclico, por lo que podría tener para calcular más de una $X(z)$, pero son de este mismo modificada de la fórmula.
En general, siempre y cuando el índice es pequeño, los cálculos no son tan malos. Si el índice es grande, entonces las matrices son muy grandes también, y puede ser mejor uso de la "caja negra" de álgebra lineal en lugar tratando de almacenar la matriz de entradas (incluso en un formato comprimido para matrices dispersas).
La ampliación de un diedro representación
Vamos a una rotación de la máxima orden de la matriz $Z$. Proponemos hay algunos matriz $A$ para una reflexión. Si no lo fue, que satisfaga las ecuaciones de $AZ = Z^{-1}A$ (que en realidad son $n^2$ ecuaciones lineales equiparación de todas las entradas). Esto generalmente se determina, por lo tanto, añadir a la ecuación cuadrática $A^2 = 1$.
Por ejemplo, si $Z=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ a continuación se obtienen las ecuaciones de $a_{12} = a_{21}$ $-a_{11} = a_{22}$ a partir de la observación en la parte superior de la fila de $AZ=Z^{-1}A$, y llegamos $a_{22}=-a_{11}$ $-a_{21}=-a_{12}$ (tanto redundante) a partir de la segunda fila. De $A^2 = 1$ y las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación simple $a_{21}^2 + a_{22}^2 = 1$ (la parte superior-izquierda de la entrada; el off diagonales son automáticamente a 0, y en la parte inferior derecha de la entrada es el mismo que el de arriba a la izquierda).
Ahora, cualquier solución es buena, así que nos tomamos $a_{22}=1$, por lo que $a_{21}=0$, $a_{12}=0$ y $a_{11}=-1$.
Nota cómo hay muchas otras soluciones, aunque, todo un círculo la pena.
En general, puede ser muy difícil decidir si una representación de un subgrupo se extiende a todo el grupo. Yo no soy consciente de que cualquier algoritmo para la búsqueda de esos aan de extensión si no existe.
