Que $\gamma$ ser una cubierta de espacio $X$ y $C_\gamma (X)$ de todas las funciones continuas en $X$ con valores en el espacio discreto $D={0,1}$ dotado de la topología de la convergencia uniforme sobre los elementos de $\gamma$. ¿Qué significa "topología de la convergencia uniforme sobre los elementos de $\gamma$"?
Respuesta
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En general, tenemos una métrica co-dominio $(R,d)$, por lo tanto consideramos que (continua) funciones de $X$ $R$, y tenemos una cubierta $\gamma$$X$. Una base para la topología de la convergencia uniforme sobre los elementos de la $\gamma$ está dado por los conjuntos de la forma $S(A, f, \epsilon)$, para todos los $f \in C(X,R)$, $A \in \gamma$, $\epsilon>0$ real, y
$S(A, f, \epsilon) = \{g \in C(X,R): \forall x \in A: \, d(f(x),g(x)) < \epsilon \}$
Para la cubierta de singleton tenemos la pointwise topología, y para la cubierta $\{X\}$ obtenemos el uniforme de la métrica, y también la portada por todos los conjuntos compactos se utiliza (topología de convergencia compacta).
En su caso le ha $\{0,1\}$ como codominio, por lo que podemos considerar todas las $S(A,f,1)$ subbasic conjuntos, y esas son todas las funciones que coincidir exactamente con $f$$S$, debido a la discretitud del codominio.
