Es un esquema con un único punto cerrado afín?

Question

Deje $X$ ser un cuasi-compacto, separados esquema con un único punto cerrado.

Es $X$ necesariamente afín, y por lo tanto isomorfo al espectro de un anillo local?

Yo no podría pensar de un contra-ejemplo; hay uno?

Answer 1

Bueno, yo estoy respondiendo a mi propia pregunta. Como Cantlog señala, en virtud de la presente hipótesis, la pregunta tiene una respuesta sencilla.

Deje $X$ ser un cuasi-sistema compacto con un único punto de cierre $x_0$. Deje $U$ libre afín que contengan $x_0$. En un cuasi-sistema compacto $X$, cada vacía conjunto cerrado contiene un punto cerrado de $X$. Esto implica que $X-U$ debe estar vacío, ya que no contiene los $x_0$. Por lo $X$ es afín. (Separatedness no era siquiera necesario.)

Yo todavía no sé si la pregunta tiene una respuesta positiva si $X$ es sólo supone estar conectados y separados. Parece más grave es la cuestión.