prueba de que$\phi\circ\phi=id$ implica la existencia de una matriz diagonal

Question

Como preparación para el examen, intentamos probar la siguiente tarea:

Deje$V=\mathbb{R}^2$ y permita que$\phi$ sea un endomorfismo de$V$ con$\phi \circ \phi = id$ y$\phi \neq id$ y$\phi \neq -id$. Prueba de que esto implica la existencia de una base$B=(b_1,b_2)$ de$V$ con$\phi(b_1) = b_1$ y$\phi(b_2)=-b_2$

Lamentablemente, no podemos resolver esa tarea y agradeceríamos mucho algunas pruebas y un "cómo" de cómo abordar estos problemas.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Un (primaria) algebraicas enfoque que lleva a esta conclusión podría ser como sigue. Desde $\phi \neq id$ hay algo de $x$ que $\phi(x) - x \neq 0$. La aplicación de $\phi$ a este vector se le da $$\phi(\phi(x) - x) = \phi \circ \phi(x) - \phi(x) = x - \phi(x)$$ Por lo $x - \phi(x)$ es un vector distinto de cero $\phi$ es negativo en sí mismo. Del mismo modo, desde la $\phi$ no $-id$, hay algunos $y$ que $\phi(y) + y$ es distinto de cero, y la aplicación de $\phi$ de forma análoga a este vector se pone de nuevo en sí mismo. Estos dos vectores no son múltiplos uno del otro desde $\phi$ tiene comportamientos opuestos en los dos vectores. Por lo tanto son una base.

Answer 2

El polinomio$X^2-1=(X-1)(X+1)$ aniquila$\phi$ y se divide sobre$\mathbb{R}$ y con raíces simples. Por lo tanto,$\phi$ es diagonalizable. Sin embargo,$\phi$ no puede ser identidad o identidad menos, entonces existe una base$B=(b_1,b_2)$ de$V=\mathbb{R}^2$ con$\phi(b_1)=b_1$ y$\phi(b_2)=−b_2$.

Answer 3

Mi enfoque sería escribir los eigenvalues-eigenvectors equatio: n es inmediato que los valores propios deben ser +1 o -1. Lo que queda es ver que los vectores propios son ortogonales y que a partir de las alternativas (1,1) (1, -1) (-1, -1) solo el segundo es posible.