continuidad continua del espectro en los elementos

Question

Supongamos que$a_n \to a$ en unital$C^*$ - álgebra$A$. Si$\lambda_n \in \sigma(a_n)$ converge a$\lambda \in \mathbb{C}$, entonces$\lambda \in \sigma(a)$. ¿Se sostiene lo contrario?

Entonces, si$\lambda \in \sigma(a)$, ¿existe una secuencia$\lambda_n \in \sigma(a_n)$ con$\lambda_n \to \lambda$?

Estoy seguro de que es válido si$\dim(A) < \infty$, y si$A$ es conmutativo, pero en el caso general no veo una prueba. Quizás algunas suposiciones adicionales son necesarias?

Answer 1

Conversión falla en$B(H)$ (Problema 102 en el Libro de problemas de espacio de Hilbert de Halmos): tome$a_n$ para ser el desplazamiento ponderado bilateral con pesos$1$ en todas partes excepto en la coordenada$0$, que tiene un peso$1/n$. El punto límite$a$ es similar, excepto que el peso en$0$ - coordenada es$0$. Entonces cada$a_n$ tiene el círculo unitario para su espectro, pero$a$ no es invertible, por lo que tiene$0$ en su espectro.