Que $x^n$ es una función continua

Question

Así que la idea que pensé en hacerlo fue por inducción.

$\forall\; \epsilon > 0\;\; \exists \;\delta > 0$ tal que $|x-x_0|

Por la definición del límite seleccione $\delta=\epsilon$ y la declaración sostiene para $n=1$. Así $\lim_{x \rightarrow x_0} = x_0 = f(x_0)$

Ahora aquí está el paso inductivo.

A continuación asume que $\lim_{x \rightarrow x_0} x^n$ existe. Otro palabras, $\forall\; \epsilon > 0\;\; \exists \;\delta > 0$ tal que $|x-x_0|

$\forall\; \epsilon > 0\;\; \exists \;\delta > 0$ tal que $|x-x_0|

Que $\epsilon >0$ y $|x-x_0|

Estoy teniendo problemas para proceder desde aquí cualquier insinuación o Consejo sería muy apreciado.

Answer 1

La inducción no es realmente necesaria aquí. Es suficiente trabajar sólo con arbitraria $n$ para mostrar que el argumento funciona para cualquier $n$ eliges.

En efecto, fijar $\varepsilon > 0$. Queremos $|x^{n+1} - x_0^{n+1}|

$$|x^{n+1} - x_0^{n+1}| = |x - x_0||x^n + x^{n-1}x_0 + \dots + x x_0^{n-1} + x_0^n|$$

Cuando en un intervalo alrededor de $x$ $x_0$, decir $x \in [x_0 - 1, x_0+1]$, la suma en el lado derecho tiene una llamada enlazada, este límite $M$.

Por lo tanto, tomando el $\delta = \min(\dfrac{\varepsilon}{M}, 1)$ obtenemos

$$|x^{n+1} - x_0^{n+1}| = |x - x_0||x^n + x^{n-1}x_0 + \dots + x x_0^{n-1} + x_0^n|

así que hemos terminado.

Answer 2

Sugerencia: si $f$ es continua y $g$ es continuo entonces $fg$ es continua. Esto no es tan difícil de demostrar (pregúntele si necesita ayuda). Luego aplicar la inducción.