¿Cuál es la dimensión de este espacio?

Question

La función$π(v)$ intercambia las coordenadas del vector$v$ aleatoriamente.

Por ejemplo:

$v = (1,3,7,9), π(v) = (7,3,1,9)$.

Arregle algún vector$v ∈ \mathbb{R}^n$ y construya un casco lineal de todas las permutaciones posibles de sus coordenadas. ¿Cuál es la dimensión de este espacio?

$\dim〈{π(v) | \text{ for all permutations } π}〉 = $?

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¿Cómo debería comenzar a resolver este interesante desafío?

¿Hay algunos consejos interesantes para eso?

Gracias.

Answer 1

Dependiendo $v$, el espacio puede tener dimensión $0$, $1$, $n-1$ o $n$; pero, curiosamente, una vez que la dimensión es conocido el subespacio vectorial no depende de la elección de $v$ si $n\geq 3$.

Para ver esto, vamos a denotar $V=\langle\{\pi(v) | \text{ for all permutations } \pi\}\rangle$. Tenemos varios casos a considerar :

1. $v$ tiene sólo el cero de coordenadas. A continuación, todos los $\pi(v)$ son cero, así que $V=\{0\}$.
2. todas las coordenadas de $v$ son iguales y distinto de cero entonces: $\pi(v)=v$ para todas las permutaciones, y $V=\mathbb{R}\cdot (1,\dots,1)$.
3. $v$ tiene dos coordenadas diferentes : sin pérdida de generalidad podemos suponer $v=(a,b,\dots)$$a\neq b$. A continuación, $V$ también contiene $(b,a, \dots)$, y también la diferencia de $(a-b,b-a,0,\dots,0)$, y por lo tanto $(-1,1,0,\dots,0)$. Tomando permutaciones en este vector, tenemos todos los vectores de la forma $(-1,0,\dots,1,\dots,0)$, y tomando las combinaciones lineales de estos vectores, se puede conseguir cualquier vector $x=(x_1,\dots,x_n)$ tal que $\sum_j x_j=0$; de hecho, basta con retirar la combinación lineal \begin{gather} x_2(-1,1,0,\dots,0)+x_3(-1,0,1,0,\dots 0)+\dots +x_n(-1,0,\dots,0,1) \\ = (-x_2-x_3\dots -x_n, x_2, x_3,\dots, x_n)\\ = (x_1,x_2,\dots , x_n)\end{reunir}(porque $x_1=-x_2-\dots -x_n$). Nos deja denotar $W$ el subespacio vectorial de dichos vectores. Ya que la suma de las coordenadas es invariante bajo las permutaciones, si $v\in W$$V\subset W$, y ya hemos demostrado que $W\subset V$, $V=W$. Si $v\notin W$, $V$ es mayor, y desde $W$ tiene dimensión $n-1$, $V=\mathbb{R}^n$.

Ya que cada opción posible para $v$ cae por debajo de 1, 2 o 3, $V$ tiene que ser $\{0\}$, $\mathbb{R}\cdot (1,\dots,1)$, $W$, o $\mathbb{R}^n$, y por lo tanto $\dim V$ tiene que ser $0$, $1$, $n-1$, o $n$.

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Si sabe lo que es una representación lineal de un grupo, tenga en cuenta que el problema es equivalente a la determinación de las representaciones irreducibles en la descomposición de la representación canónica de $S_n$, que es equivalente a la determinación de la $\mathbb{R}[S_n]$-submódulos de $\mathbb{R}^n$ visto como un $\mathbb{R}[S_n]$-módulo, que es precisamente lo que he hecho.