Resolver

Question

Hola a todos :) Esta es otra de las tareas que estoy tratando de resolver y parece que no puede obtener el mismo resultado como Wolfram Alpha.

Resolver la siguiente ecuación diferencial: $$(y'+1)\ln{\frac{x+y}{x+3}} = \frac{x+y}{x+3}$$

Mi intento:

El uso de la sustitución de $$e^z = \frac{x+y}{x+3}$$ y $$y=e^z(x+3)-x$$ $$y=xe^z+3e^z-x$$ y $$y'=e^z+z'xe^z+3z'e^z-1$$ Por lo tanto: $$ (e^z+z'xe^z+3z e^z)z = e^z $$ Deviding por $e^z$ $$ z+zz x+3zz' = 1$$ $$ 1+z x+3z' = \frac{1}{z} $$ $$ z'(x+3)= \frac{1-z}{z} $$ $$ \int \frac{z}{1-z}dz = \int \frac{1}{x+3} dx $$ $$ -\ln{\frac{x+y}{x+3}} - \ln{\bigg|1-\ln{\frac{x+y}{x+3}} \bigg|=\ln{(x+3)}} $$ EDITAR: Después de la fijación de la solución, tengo la solución anterior. Pero aún así, esta solución no corresponde a la que en Wolfram Alpha no puedo encontrar una manera de transformar a ser igual.

Answer 1

Me las arreglé para resolver esta ecuación diferencial. Siguiente de la última parte de la pregunta:

$$ -\ln{\frac{x+y}{x+3}} - \ln{\bigg|1-\ln{\frac{x+y}{x+3}} \bigg|=\ln{(x+3)}} +{C_1} $$

El siguiente es: $$ -\bigg(\ln{\frac{x+y}{x+3}}+\ln{\bigg| 1- \ln{\frac{x+y}{x+3}}\bigg|}\bigg) = \ln{{(x+3)}}+\ln{C_2} $$ $$ -\ln{\frac{x+y}{x+3}\bigg| 1-\ln{\frac{x+y}{x+3}} \bigg| } = \ln{(x+3)} + \ln{C_2}= \ln{(x+3)C_2} $$ $$ \ln{\frac{x+y}{x+3}\bigg| 1-\ln{\frac{x+y}{x+3}} \bigg| } = \ln{\frac{1}{x+3}} $$ $$ \frac{x+y}{x+3}\bigg( 1-\ln{\frac{x+y}{x+3}} \bigg) = \frac{C_3}{x+3} $$ $$ {(x+y)}\bigg( 1-\ln{\frac{x+y}{x+3}} \bigg) = {C_3} $$ $$ {(x+y)}\bigg( 1-\ln{\frac{x+y}{x+3}} \bigg) = {C_3} $$ $$ x-x\ln{\frac{x+y}{x+3}}+y-y\ln{\frac{x+y}{x+3}} = -C $$ $$ x\ln{\frac{x+y}{x+3}}+y \bigg( \ln{\frac{x+y}{x+3}} - 1 \bigg) - x = C $$