Encontrando $\int x^xdx$

Question

Estoy tratando de encontrar $\int x^x \, dx$ pero lo único que sé hacer es esto:

Dejemos que $u=x^x$ .

$$\begin{align} \int x^x \, dx&=\int u \, du\\[6pt] &=\frac{u^2}{2}\\[6pt] &=\dfrac{\left(x^x\right)^2}{2}\\[6pt] &=\frac{x^{2x}}{2} \end{align}$$

Pero es seguro que esta no es la forma correcta de evaluarlo, y la respuesta debe ser errónea.

Answer 1

Como se ha señalado en los comentarios, tu derivación contiene un error.

Para responder a la pregunta, esta función no se puede integrar en términos de funciones elementales. Así que no hay una respuesta "simple" a tu pregunta, a menos que estés dispuesto a considerar una aproximación en serie, obtenida expandiendo la exponencial como una serie:

$$\int{x^xdx} = \int{e^{\ln x^x}dx} = \int{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k\ln^k x}{k!}}dx$$

Answer 2

Si estás dispuesto a poner límites a tu integral, es posible calcular que $$\int_0^1 x^x\,dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^n}.$$ Efectivamente, si se empieza como sugiere nbubis, y se hace la sustitución $u = -\log x$ , lo consigues $$\int_0^1 x^x\,dx = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\int_0^1x^k(\log x)^k\,dx = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}\int_0^\infty e^{u(k+1)}u^k\,du$$$$ = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}\frac{1}{(k+1)^k}\int_0^\infty e^{u(k+1)}[(k+1)u]^k\,du. $$ If you then make the substitution $ t = (k+1)u $ this becomes $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}\frac{1}{(k+1)^k}\int_0^infty e^tt^k,dt = \sum_{k=0}^infty \frac{(-1)^k}{(k+1)!}\frac{1}{(k+1)^k}Gamma(k+1), $$ where $ \N - Gamma $ is the usual Gamma function. Since $ ¡\Gamma(k+1) = k! $, the final expression is $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n-1}{n^n}. $$ Similarly you can derive $ \int_0^1 x^{-x},dx = \sum_{n=1}^\infty n^{-n}$. En no creo que sea posible ninguna otra simplificación.

Answer 3

Dejar ${x}^{x} = {\left({e}^{\ln {x}} \right)}^{x} = {e}^{x \ln {x}}. $

Por la expansión en serie de ${e}^{x}$ : $${e}^{x \ln {x}} = \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { \left( x \ln{x} \right) }^{ n } }{ n! } }$$

Así, $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ x } } dx=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { { { x }^{ n }\left( \ln {x} \right) }^{ n } }{ n! } } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n! } \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx }$$

Dejemos que $u = {\left(\ln {x} \right)}^{n} $ , $dv = {x}^{n} dx $ , $du = \frac{{n \left(\ln {x} \right)}^{n-1}}{x} dx$ y $v=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}$ y utilizando la integración por partes, llegamos a

$$\lim _{ a\rightarrow 0 }{ \int _{ a }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx } =\lim _{ a\rightarrow 0 }{ { \left[ \frac { { x }^{ n+1 } }{ n+1 } { \left( \ln { x } \right) }^{ n } \right] }_{ a }^{ 1 } } -\lim _{ a\rightarrow 0 }{ \int _{ a }^{ 1 }{ { \frac { n }{ n+1 } x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n-1 } } dx$$

que se convierte en $$\lim _{ a\rightarrow 0 }{ \int _{ a }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx } =-\int _{ 0 }^{ 1 }{ { \frac { n }{ n+1 } x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n-1 }dx = \frac{{(-1)}^{n}n!}{{(n+1)}^{n+1}}$$

Por lo tanto, $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ x } } dx=\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ n-1 } }{ { n }^{ n } } }$$