Pregunta de análisis de la desigualdad sobre demostrando un producto infinito mayor que 0

Question

Este es el de David Williams' libro de Probabilidad mediante Martingales. Soy auto-estudio.

Pregunta

Probar que si $$0\leq p_n < 1 \quad\text{ and }\quad S:=\sum p_n < \infty$$ then $$\prod (1-p_n) > 0$$ Hint: First show that if $S<1$, then $\prod (1-p_n)\geq 1-S$.

Tuve la oportunidad de probar la sugerencia de uso de la inducción. Suponga $\prod\limits_{n=1}^N (1-p_n) \geq 1-\sum\limits_{n=1}^N p_n$. Considere la posibilidad de $\prod\limits_{n=1}^{N+1}(1-p_n) \geq (1-\sum\limits_{n=1}^N p_n)(1-p_{N+1})=1-\sum\limits_{n=1}^{N+1}p_n+p_{N+1}\sum\limits_{n=1}^{N}p_n \geq 1-\sum\limits_{n=1}^{N+1}p_n$.

Pero soy incapaz de usar esto para probar el resultado general para arbitrario $S$. Cualquier orientación se agradece. Yo también estoy sorprendido de que él le pide a esta pregunta después de indicar el 2º Borel Cantelli lema, no veo la conexión.

Answer 1

Si $\sum_{n=1}^\infty p_n<\infty$, entonces usted puede encontrar para cada una de las $\epsilon>0$ índice de $N$ tal que $\sum_{n=N}^\infty p_n<\epsilon$. En particular, usted puede hacer esto para algunos $0<\epsilon<1$. Por lo que han mostrado, $$\prod_{n=N}^M (1-p_n)>1-\epsilon>0,$$ and since $\prod_{n=N}^M (1-p_n)$ converges as $M\to\infty$ (it is a decreasing sequence bounded below), we have $$\prod_{n=N}^\infty (1-p_n)\geq 1-\epsilon>0.$$

Claramente, $\prod_{n=1}^{N-1}(1-p_n)>0$. Ahora $$\prod_{n=1}^\infty(1-p_n)=\prod_{n=1}^{N-1}(1-p_n) \prod_{n=N}^\infty (1-p_n)\geq (1-\epsilon)\prod_{n=1}^{N-1}(1-p_n)> 0.$$

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Aquí está la conexión a la segunda Borel-Cantelli lema. El lema dice que si $(E_n)$ es una secuencia de eventos independientes satisfacer $\sum_{n=1}^\infty p_n=\infty$$p_n=P(E_n)$, un punto al azar en el espacio muestral se encuentra con una probabilidad de $1$ en infinitamente muchas de las $E_n$. Este ejercicio muestra que este automáticamente se produce un error si $\sum_{n=1}^\infty p_n<\infty$, ya que el $\prod_{n=1}^\infty (1-p_n)$ es la probabilidad de que un elemento se encuentra en ninguno de los $E_n$.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad podemos tomar $0<p_n condici="" desde="" indicar="" la="" luego="" p_n="" por="" que="" serie="" sigue="" y="">-\infty$ converge como $\sum p_n$ converge y por lo tanto</p_n>

$$\log p=\lim{N\to\infty}\sum{n=1}^N \log (1-pn)=\sum{n=1}^{\infty}\log (1-p_n)>-\infty.$ $ Así conseguimos $$-\infty0.$