Corrección:
La OP ha proporcionado una corrección a la ecuación VII, que debería decir:
B0(1+sinφ)[(π2+φ)−sin−1(x+y)−(x+y)√1−(x+y)2]−[1+sinφ−(x+y)]⋅T4H+q(4π+8φ)R2σ(1−γ)=0
Estas ecuaciones presentan el sistema no lineal a resolver en términos que se ajustan a la intención (científica o de ingeniería) aplicación .
Antes de lanzarse al desarrollo de software para "resolver" el sistema, que en esencia será reescribir las ecuaciones en una forma adecuada para programación es una buena idea hacer una reescritura intermedia de las ecuaciones en una forma adecuada para análisis matemático de las condiciones que implican existencia de soluciones y sus posibles singularidad .
Si bien la distinción entre constantes físicas y parámetros es crucial para la aplicación, será más sencillo, en aras del análisis, refundir las ecuaciones utilizando menos términos (y perdiendo así, con toda probabilidad, la cuidadosa distinción entre ellos en cuanto a la aplicación).
Obsérvese, por ejemplo, que la "constante" B0 sólo aparece multiplicado por un factor (1+sinφ) . Un examen más detallado revela que podemos dividir a través del factor combinado en las ecuaciones V,VII,VIII de una manera que reduce un buen poco de "desorden".
Se pueden hacer observaciones relacionadas con la incógnitas del sistema. Ya comentamos que x,y se determinan explícitamente mediante las ecuaciones XII y XIII como expresiones en TL,TH . Así, esas incógnitas pueden eliminarse por sustitución. Además TL,TI,TH sólo aparecen en las ecuaciones como cuartas potencias, por lo que será más sencillo expresar las condiciones en términos de esas cuartas potencias directamente.
Así, nuestra primera tarea es emprender una reescritura matemática de las ecuaciones con la esperanza de simplificar el análisis de la existencia y la unicidad de las soluciones. Podemos anticipar razonablemente que esto también facilitará la programación de las soluciones en una empresa posterior.
Para este particular sistema de ecuaciones somos realmente afortunados; la simplificación de las ecuaciones nos permite resolver para las incógnitas de una en una (no simultáneamente como en la mayoría de los sistemas no lineales).
Para ver esto, empecemos con la ecuación V, con una pequeña simplificación:
B0(1+sinφ)[(sin−1x)+x⋅√1−x2]−x⋅T4L−q(4π+8φ)R2σ(1−γ)=0
Obsérvese que el último término del lado izquierdo es sólo una constante, aunque depende del parámetro q . Por lo tanto, podemos dividir por B0(1+sinφ) como se ha sugerido anteriormente y trasladar el término constante resultante al otro lado de la ecuación (con un cambio de signo):
(sin−1x)+x⋅√1−x2−x⋅T4LB0(1+sinφ)=qB0(1+sinφ)(4π+8φ)R2σ(1−γ)
Ahora el lado derecho puede ser sustituido por una única constante, aunque quizá queramos utilizar una notación que muestre su dependencia de ambos parámetros q y φ :
L(q,φ):=qB0(1+sinφ)(4π+8φ)R2σ(1−γ)
Además, el lado izquierdo puede simplificarse aún más (como puede haber indicado un comentario del OP) utilizando la ecuación XII. Elevando al cuadrado ambos lados y multiplicando por cuatro:
T4LB0(1+sinφ)=4(1−x2)
Esto parece haber sido diseñado con el fin de eliminar las incógnitas TL de la ecuación simplificada V. Sustituyendo en el lado izquierdo y también en el derecho
f(x):=(sin−1x)+x⋅√1−x2−x⋅4(1−x2)=L(q,φ)
Notablemente, el lado izquierdo depende ahora sólo de x mientras que el lado derecho es un valor fácilmente calculado a partir de los parámetros q y φ , L(q,φ)=q/[(1+sinφ)(4π+8φ)CL] donde:
CL:=B0R2σ(1−γ)=(4.1E9)(6.6E6)2(5.67E−8)(0.6)=6.07583592E15
Alejándonos de la propia ecuación, consideremos el dominio permitido para la incógnita x . Está claro que necesitamos x∈[0,1] aunque no todos esos valores admiten soluciones a las restantes ecuaciones.
Como comprobación de nuestro trabajo hasta ahora, vamos a graficar la función f(x) en [0,1] .
![function f(x) on unit interval]()
Figura 1 Un gráfico de f(x) en [0,1]
Los valores de muestra dados en la Pregunta para los parámetros q,φ sugieren que los valores L(q,φ) será positivo. En cualquier caso, la ecuación f(x)=L(q,φ) tiene una solución única x∈[0,1] existe cuando 0<L(q,φ)≤π/2 . Para los valores de muestra dados podemos encontrar una solución de este tipo x , como la entrada q=1.0E15 y φ=0 para lo cual:
L(1.0E15,0)≈0.0121319
La solución numérica x≈0.745165 se puede encontrar por simple algoritmos de búsqueda de raíces .
Al comentar esta respuesta, el OP pide "las soluciones analíticas". Esto parece poco práctico. La función definida como inversa a f(x) no tiene forma elemental y no supone ninguna ventaja, ya que la solución numérica puede calcularse fácilmente con la precisión que se desee. Las constantes y los parámetros de este problema no están dados con una precisión especialmente alta, por lo que llevar la precisión de la solución correspondiente a una exactitud excepcional parecería inútil.
Es probable que podamos resolver las ecuaciones VII y XIII para x+y de forma similar a como hemos resuelto anteriormente las ecuaciones V y XII para x . Si y=(x+y)−x resulta ser positivo, entonces también TL>TH puede ser alcanzado. Después de un valor único TI se obtiene a partir de la ecuación VIII, terminamos de resolver una vez que comprobamos si satisface la desigualdad:
TL>TI>TH
