Nombre para esta simple desigualdad

Question

Que vectores de $x,y$ $\mathbb{R}^3$. ¿De %#% $ de #% se deduce $$\Vert x+y\Vert^2\geq 0$ $ tiene esta desigualdad un nombre?

Answer 1

La desigualdad es trivial equivalente a la desigualdad $$x\cdot y\le\frac{\lVert x\rVert^2}{2}+\frac{\lVert y\rVert^2}{2}$$ which can be thought of as a vector version of Young's inequality. You can also replace $x$ by $x/\sqrt\varepsilon$ and $y$ by $\sqrt\varepsilon y$ para obtener la versión vectorial de la Peter-Paul desigualdad $$x\cdot y\le\frac{\lVert x\rVert^2}{2\varepsilon}+\frac{\varepsilon\lVert y\rVert^2}{2}$ $ que con frecuencia es bastante útil en teoría PDE.