¿Por qué parece continuo análisis Bayesiano dar este resultado contradictorio?

Question

Digamos que usted tiene un proceso que genera los datos de acuerdo con r = sin(t) + epsilon, donde epsilon ~ N(0,V) es ruido Gaussiano. El incondicional de la varianza de r es de 0,5 + V.

Digamos que estamos pronosticando r con un modelo m, y que nuestra previsión es "perfecto" en el que m = sin(t). Construcción v = r - m, que es el error en la previsión, y va a ser ~ N(0,V).

Según Bayes, tenemos p(r|v) ~ p(v|r)*p(r), que es el producto de dos Gaussianas archivos Pdf, uno con la varianza de la V, y el otro (0.5+V). Este producto va a ser en sí mismo una Gaussiana con varianza total T = 1/(1/V + 1/(0.5+V)).

Lo curioso es que T < V garantizado, de hecho, T/V = (V+0.5)/(2V+0.5)! En otras palabras, según Bayes, la varianza de las predicciones de error es menor que el nivel de ruido inherente en el proceso generador de datos en sí!?! No es que imposible? Alguien me puede ayudar a resolver a través de esto?

Gracias de antemano, -Jesse

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whuber, una derivación del producto de dos Gaussianas pdf es de https://people.ok.ubc.ca/jbobowsk/phys327/Gaussian%20Convolution.pdf. La fórmula para la varianza me dio, 1 / (1 / (V+0.5) + 1/V) parece ser exactos. Otra forma de escribir esta misma expresión es V*(V+0.5)/(V + (V + 0.5)) de que mi ecuación para T/V de la siguiente manera directa que demuestre que T < V.

Tal vez fueron citando la varianza de la convolución de dos Gaussianas pdf? La suma de las desviaciones es la correcta para la convolución. Creo Bayes especifica el producto, no la convolución, sin embargo, o tengo que equivocado?

Answer 1

En realidad, las varianzas son cero: $V(v|r) = V(r|v) = 0$.$p(v|r)$ es una función de Dyrac que tiene un pico en el lugar adecuado (donde $r = v -m$).

Si sabes $v$ $r$, el otro es una función determinista del que sabes.

Answer 2

Como por whuber la sugerencia, estoy publicando el resumen de errores en una de respuestas separada.

1. La distribución de $t$ no está indicada. Si $t$ no es una variable aleatoria, entonces la media de $r$ $\sin t$ e incondicional de la varianza por lo tanto es $V$, no $\frac{1}{2}+V$.

2. Si asumimos que el $t$ es distribuido uniformemente en el intervalo de $[0,2\pi]$ e independiente de $\varepsilon$ como por shabbychef propuesta, entonces incondicional de la varianza se $\frac{1}{2}+V$. Pero, a continuación, la distribución de $r$ es, ciertamente, no es normal. De modo que el producto de $p(v|r)$ $p(r)$ no será de Gauss, y siguiendo la varianza de los cálculos son incorrectos.