¿Cuál es el valor MÍNIMO esperado extraído de una distribución uniforme entre 0 y 1 después de n ensayos?

Question

Suponga que extrae un número aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1 n veces. ¿Cómo se puede calcular el mínimo número extraído tras n ensayos?

Además, ¿cómo se calcularía un intervalo de confianza para afirmar que el número mínimo extraído se encuentra en el intervalo [a,b] con un m% de confianza?

Answer 1

Está buscando estadísticas de pedidos . La wiki indica que la distribución del mínimo se extrae de una distribución uniforme entre 0 y 1 después de $n$ es una distribución beta (no he comprobado que sea correcta, cosa que probablemente debería hacer). En concreto, dejemos que $U_{(1)}$ sea el estadístico de orden mínimo. Entonces:

$U_{(1)} \sim B(1,n)$

Por lo tanto, la media es $\frac{1}{1+n}$ . Puede utilizar la distribución beta para identificar $a$ y $b$ tal que

$Prob(a \le U_{(1)} \le b) = 0.95$ .

Por cierto, el uso del término intervalo de confianza no es apropiado en este contexto, ya que no se está realizando una inferencia.

Actualización

Calcular $a$ y $b$ tal que $Prob(a \le U_{(1)} \le b) = 0.95$ no es sencillo. Hay varias formas posibles de calcular $a$ y $b$ . Un enfoque consiste en centrar el intervalo en torno a la media. En este enfoque, se establecería:

$a = \mu - \delta$ y

$b = \mu + \delta$

donde

$\mu = \frac{1}{1+n}$ .

A continuación se calcula $\delta$ tal que la probabilidad requerida sea 0,95. Tenga en cuenta que, con este planteamiento, es posible que no pueda identificar un intervalo simétrico en torno a la media para valores altos. $n$ pero esto es sólo mi corazonada.

Answer 2

Como sugiere Srikant, hay que ver estadísticas de pedidos .

Para completar la respuesta de Srikant, puedes simular este proceso fácilmente en R:

n = 10
N = 1000;sims = numeric(N)
for(i in 1:N)
  sims[i] = min(runif(n))

hist(sims, freq=FALSE)
x = seq(0,1,0.01)
lines(x, dbeta(x, 1, n), col=2)

Para obtener

texto alternativo http://img441.imageshack.us/img441/6826/tmpe.jpg

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Ligera digresión

Esta pregunta está relacionada con uno de mis problemas estadísticos favoritos, el Problema de los tanques alemanes . Este problema trata sobre el máximo de las distribuciones uniformes, y puede resumirse como:

Supongamos que uno es un servicio de inteligencia aliado durante la Segunda Guerra Mundial, y uno tiene algunos números de serie de capturado tanques alemanes capturados. Además, supongamos que los tanques están numerados secuencialmente del 1 a N. ¿Cómo se estima el número total total de tanques?

Tomado de wikipedia

Consulte la página de la wikipedia para más detalles.

Answer 3

Siguiendo a @Srikant, se puede calcular la FCD de la distribución beta, y encontrar condiciones sobre $a, b$ tal que el intervalo $[a,b]$ contiene el mínimo de $n$ sorteos de un uniforme con un 95% de probabilidad. La condición es: $(1-a)^n - (1-b)^n = 0.95$ . Una opción atractiva sería entonces el intervalo $[0,1 - 0.05^{1/n}]$ . Este es también el intervalo más pequeño con la propiedad deseada.