Muestran la existencia de una función compleja diferenciable definida fuera de $|z|=4$ % derivados $\frac{z}{(z-1)(z-2)(z-3)}$

Question

Mi intento

Escribí la función dada como una suma de funciones racionales (a través de la fracción parcial de la descomposición), esto es, $$ \frac{z}{(z-1)(z-2)(z-3)} = \frac{1/2}{z-1} + \frac{-2}{z-2} + \frac{3/2}{z-3}. $$

Esto me permite integrar formalmente la función. En particular, me parece que $$ F(z) = 1/2 \log(z-1) - 2 \log(z-2) + 3/2 \log(z-3) $$ es una compleja función derivable en el set $\Omega = \{z \in \mathbb{C}: |z| > 4\}$ con el derivado queremos. Así que esto parece responder a la pregunta, como cuanto puedo decir.

La pregunta entonces le pregunta si hay una compleja función derivable en a $\Omega$ cuya derivada es $$ \frac{z^2}{(z-1)(z-2)(z-3)}. $$ De nuevo, puedo escribir esto como una suma de funciones racionales y formalmente integrar para obtener la función deseada en $\Omega$ con este particular derivado. Woo hoo.

Mi pregunta

Hay más en esta cuestión que yo no estoy viendo? Yo también era capaz de escribir la primera derivada de una serie geométrica y demostrar que esta serie convergente para todos los $|z| > 3$, pero no creo que esto me ayuda a decir nada sobre el complejo integral de esta función. En el caso de que no, tal vez esta es una vía alternativa a la cabeza hacia abajo?

Cualquier insight/confirmación de que no estoy con vistas a algo significativo sería muy apreciada. Tenga en cuenta que esta una vieja pregunta que a menudo aparece en las guías de estudio para el análisis complejo de composiciones (uno de ellos el mío), así que esa es en parte la razón de que estoy pensando (esperando?) puede haber algo más profundo aquí. Para que sea posible el contexto histórico, la cuestión parece que se remontan a 1978 (véase el número 7 aquí): http://math.rice.edu/~idu/Sp05/cx_ucb.pdf

Gracias por su tiempo.

Answer 1

La clave parece ser que los coeficientes $1/2$, $-2$ y $3/2$ suma a 0. Así que si usted elige la rama corta para el logaritmo de tres que los recortes coinciden con la región de $|z|>4$, luego saltos en los cortes cancelan mutuamente hacia fuera (la cantidad que cada logaritmo crudo salta es siempre $2\pi i$) y una función continua en ${C\in\mathbb C\mid |z|>4}$.

Answer 2

El uso de la Morera del teorema se puede demostrar que la función tiene una antiderivada en cualquier disco $D \subset \{z \in \Bbb{C} : |z| > 4\}$.

Morera del teorema establece que si $f: D \to \Bbb{C}$ es una compleja función continua tal que $\int_T f(z)dz=0$ en cualquier triángulo contenido en $D$, $f$ tiene una antiderivada.

La idea es que para cualquier disco de su función es la de holomorphic en $D$, y la integral en cualquier cerrada(generalmente de triángulos o rectángulos son elegidos) ruta de acceso es cero (del teorema de Cauchy). Por lo tanto, por la Morera del teorema se puede encontrar una antiderivada de $f$$D$.

No sé cómo probar o refutar que existe una antiderivada en todo su dominio $\{z \in \Bbb{C} : |z| > 4\}$