Ecuaciones diferenciales. ¿Modo abreviado para resolver este problema?

Question

Descargo de responsabilidad: No soy un estudiante que intenta conseguir ayuda gratuita para los deberes en Internet. Soy un adulto que está aprendiendo Cálculo con un libro de texto. Estoy profundamente agradecido a los miembros de esta comunidad por su tiempo.

Este es el problema que estoy tratando de resolver:

El peso en libras de un determinado osezno $t$ después del nacimiento se da por $w(t)$ . Si $w(2)=36, w(7)=84,$ y $\frac{dw}{dt}$ fue proporcional al el peso del cachorro durante la primera $15$ meses de su vida, ¿cuánto pesaba pesaba el cachorro cuando era $11$ ¿meses de edad?

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Un amigo mío me envió por correo electrónico su solución:

No hay que hacer cálculos. $\frac{dy}{dy} = k y$ Eso implica $y=\exp(kt+C)$ Una $(t,y)$ da el par $k$ , otro da $C$ . No es necesario conocer la diferenciación, sólo el resultado, por lo tanto, no hay Cálculo.

¿Puede alguien descifrar lo que está diciendo? ¿Qué es $\exp()$ ? ¿Exponente? $y$ ¿es igual a un exponente? ¿Eh? No tenía ni idea de lo que quería decir, y le pedí una aclaración. Su solución alternativa era

Si Diff. Eq. es de la forma $\frac{dy}{dt} = ky$ , entonces escriba la solución como $y=$ $\exp(...)$ ¡Eso es!

No entiendo cómo se puede resolver este problema en una sola línea. Está claro que está abordando este problema con un enfoque totalmente diferente al tradicional "Cálculo/DiffEq".

A continuación se muestra cómo lo hice. Aunque llegué a la respuesta correcta después de 10 minutos y una página entera de papel, me gustaría entender el método de atajo de 1 línea de arriba, ya que parece un gran ahorro de tiempo. ¿Alguien puede explicar su método escrito de forma legible en una foto escaneada?

Answer 1

Es mejor escribirlo así: si $\dot w = k w,$ entonces $$ w = C e^{k t}. $$ Realmente no es necesario resolver para $k,$ porque $$ w = C \left( e^k \right)^t. $$ Así, si definimos un número real positivo $M = e^k,$ obtenemos $$ w = M^t. $$

Este no sale bonito. Supongo que está tomando una aproximación.

Dado $w(2)= 36, w(7) = 84,$ tenemos $$ C M^2 = 36, \; \; C M^7 = 84, $$ y $$ M^5 = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}, $$ así que $$ M = \sqrt[5]\frac{7}{3} \approx 1.184664 , $$ mientras tanto $$ C = 36 / M^2 \approx 25.65144. $$ $C$ es el peso al nacer.

Oh, bueno. El peso a los 11 años es $$ C M^{11} = C M^7 \cdot M^4 = 84 \cdot M^4 \approx 84 \cdot 1.969615 \approx 165.44769 $$

Tal vez esto ayude: porque $7-2 = 5,$ obtenemos buenos pesos de números racionales en $t=2,7,12,17,22,$ y así sucesivamente. $$ C M^{12} = 84 \cdot M^5 = 84 \cdot \frac{7}{3} = 196, $$ $$ C M^{17} = 196 \cdot M^5 = 196 \cdot \frac{7}{3} = \frac{1372}{3} = 457 + \frac{1}{3}. $$

El de la 196 da una forma de confirmar la respuesta, $$ C M^{11} = \frac{C M^{12}}{M} = \frac{196}{M} \approx \frac{196}{1.184664} \approx 165.44769 $$

Answer 2

Imagina que dos cachorros comienzan con pesos $w_0$ y $w_1$ . Cuando para ambos ${dw\over dt}=c\, w(t)$ con la misma constante de proporcionalidad $c$ Entonces los pesos de ambos se multiplican por el mismo factor en una semana. De los datos concluimos que este factor es $\left({84\over36}\right)^{1/5}$ . Por lo tanto, en las cuatro semanas restantes el cachorro aumenta su peso hasta $\left({84\over36}\right)^{4/5}\cdot 84=165.448$ libras.