topología de $\sigma$-débil versus topología débil del operador

Question

El texto de referencia para esta pregunta es: Pedersen, Análisis, GTM 118.

El $\sigma$-topología débil en $B(H)$ (el delimitada operadores lineales en un espacio de Hilbert $H$) es la debilidad de$^*$-topología en $B(H)$ visto como el doble de la álgebra de Banach $B_1(H)$ ($T\in B_1(H)$ si $T$ es un operador compacto tal que su norma en $B_1(H)$ $tr(|T|)<\infty$ - ver Pedersen 4.6.10, 3.4.6, 3.4.12, 3.4.13).

La débil operador de la topología en $B(H)$ es la generada por la semi normas $|(Tx,y)|$ $x,y$ $H$ $(\cdot,\cdot)$ es el producto interior en $H$ - ver Pedersen 4.6.1.

Se muestra en la Proposición 4.6.14 que el débil operador de la topología y de la $\sigma$-débil de la topología de la superposición de la bola de $B(H,n)$ de los operadores de $T\in B(H)$ de la norma en la mayoría de las $n$.

Esto da que cualquier $\sigma$-débilmente continua funcional $\phi$ cuando se limita a $B(H,1)$ es continua con respecto a los débiles operador de la topología.

Ahora proposiciones 4.6.11 y 4.6.4 dar las siguientes caracterizaciones de continuo funcionales en estas topologías:

4.6.11: una funcional $\phi:B(H)\to\mathbb{C}$ $\sigma$- débilmente continua si y sólo si existe secuencias de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de los elementos de $H$ tal que $\sum_{n\in\mathbb{N}}||x_n||+\sum_{n\in\mathbb{N}}||y_n||<\infty$ y $\phi(S)=\sum_{n\in\mathbb{N}}(S(x_n),y_n)$.

4.6.4: una funcional $\phi:B(H)\to\mathbb{C}$ es continua con respecto a los débiles operador de la topología de la si y sólo si existe secuencias $(x_0,\dots, x_n)$ $(y_0,\dots,y_n)$ de los elementos de $H$ tal que $\phi(S)=\sum_{j=0,\dots, n}(S(x_j),y_j)$.

Puedo seguir la prueba de la proposición 4.6.14, pero no entiendo cómo este se traduce en el nivel de estos diferentes caracterizaciones, es decir:

Suponga $\phi(S)=\sum_{n\in\mathbb{N}}(S(x_n),y_n)$ $\sigma$- débilmente continua, ¿cuáles son los vectores $(z_0,\dots, z_n)$ $(w_0,\dots,w_n)$ tal que $\phi(S)=\sum_{i\leq n}(S(z_i),w_i)$ para todos los operadores de $S$ de la norma en la mayoría de los 1?

¿Cómo puede suceder que un $\sigma$-débil continua $\phi$ funcional es tal que $\phi\restriction B(H,n)=\psi_n$ $\psi_n$ continua para los débiles operador de topología pero para todos $n$ $\phi\neq\psi_n$?

Algunos ejemplos podrían ser esclarecedor.

Gracias de antemano

Answer 1

Para tu primera pregunta, yo creo que son la incomprensión de lo que los teoremas decir. Cuando se restringe su $\sigma$-débilmente continua funcional a la unidad de la pelota, de no tener una wot funcional en todo el espacio: así 4.6.4 no se aplica.

Para tu segunda pregunta, he aquí un ejemplo: fijar una base ortonormales $\{e_n\}$ y dejar $$ \phi(S)=\sum_n\frac1{n^2}\langle Se_n,e_n\rangle. $$ Esto es claramente $\sigma$-débilmente continua por 4.6.11. Y por 4.6.14 (estoy usando sus números, no tengo el libro a mano) es débilmente continua en conjuntos acotados. Pero no es débilmente continua: aquí es un ejemplo que he publicado hace un par de días. No estoy seguro de si son conscientes, pero la continuidad no fallar en las secuencias de (débilmente convergente secuencia es limitado) así que tenemos redes.

Deje $\mathcal F=\{F\subset H:\ F \text{ is a finite-dimensional subspace} \}$, ordenados por inclusión. Construimos una red de operadores indexados por $\mathcal F$ como sigue: $$ T_F=\frac1{\phi(P_{F^\asesino})}\,P_{F^\asesino}, $$ donde $P_{F^\perp}$ es la proyección ortogonal sobre $F^\perp$. Entonces, para cualquier $x\in H$, si nos movemos lo suficiente a lo largo de la red tendremos $x\in F$, lo $T_Fx=0$, y, a continuación, $$ \langle T_Fx,y\rangle=0 $$ para cualquier $x,y$. Es decir, $T_F\to0$ débilmente.

Pero, para cualquier $F$, $$ \phi(T_F)=\frac{\phi(P_{F^\asesino})}{\phi(P_{F^\asesino})}=1. $$ Por lo $\{\phi (T_F)\}$ no converge a $\phi (0)=0$, mostrando que el $\phi $ no es débilmente continua.