Probar que un conjunto que consta de una secuencia y su punto límite cerrado

Question

Por favor alguien puede comprobar si la siguiente prueba simple es "matemáticas"? Es correcta, completa, rígido? Puede ser simplificado? Soy un completo autodidacta, así que estoy buscando a alguien que me dé retroalimentación para ganar experiencia en la escritura de pruebas... Esta es mi primera pregunta en la MSE.

La proposición:

Deje $(X, d)$ ser un espacio métrico y $x_n \to x$ donde cada una de las $x_n \in X$$x \in X$. Deje $A$ ser el subconjunto de $X$ que consta de $x$ y todos los puntos de $x_n$. Demostrar que $A$ es cerrado en $(X, d)$.

Mi tentativa para probar esto:

En primer lugar demostrar que todas las secuencias infinitas en $A$ convergen a $x$: Vamos a $y \in X$, $y \ne x$. A continuación, hay algunas abrir balón $B_\epsilon(x)$ $\epsilon < d(x,y)$ contiene todos pero un número finito de elementos de $A$. Como $y \notin B_\epsilon(x)$ no puede haber ninguna secuencia infinita en $A$ convergentes a $y$. En consecuencia, todas las series infinitas en $A$ convergen a un punto en $A$ que por lo tanto debe ser un conjunto cerrado.

Editado: Como se ha señalado en los comentarios, yo debería haber escrito en la primera frase "...las secuencias con una infinidad de distintos términos y que convergen en algún punto de $X$" y la última frase debería ser "en consecuencia, todas las infinitas secuencias de...".

Answer 1

Como dije en mi comentario, tu prueba es aceptar. Pero aquí es la manera en que yo habría hecho. Voy a escribir la prueba de una manera más formal, porque en matemáticas sólo se puede hablar suelto después de dominar la escritura adecuadamente.

Deje $y\in X\setminus A$. Deje $\varepsilon=d(y,x)/2$. Luego, por la convergencia $x_n\to x$ existe $n_0$ tal que $x_n\in B_\varepsilon(x)$ todos los $n\geq n_0$. Así, por $n\geq n_0$, $$\etiqueta{1} d(x_n,y)> d(x,y)-d(x_n,x)>d(x,y)-\varepsilon=d(x,y)/2. $$ Deje $\delta=\min\{d(x,y),d(x_1,y),\ldots,d(x_{n_0},y)\}/2$. Entonces $d(y,x_n)\geq\delta$ si $n\leq n_0$, y por ($1$) $d(y,x_n)\geq\delta$ si $n\geq n_0$. Esto demuestra que $B_\delta(y)$ no tiene intersección con $A$, es decir, $B_\delta(y)$ está contenido en $X\setminus A$. Como $y$ fue arbitraria, esto demuestra que $X\setminus A$ es abierto, es decir, $A$ es cerrado.

Answer 2

Lo que realmente quiero hacer es verificar que el $A$ satisface la definición de conjunto cerrado: en primer lugar, la secuencia de las $y_n \in A$ tiene un límite, es decir, que exista $y$, de modo que $\lim y_n = y$, y el segundo de todo lo que $y \in A$. Informalmente hablando, usted quiere decir que cada secuencia en $A$ converge a un límite que es también en $A$ (tenga en cuenta que el límite no necesita ser $x$). Esto esencialmente elimina los problemas que las personas se señaló en los comentarios. Basado en este apuesto a que usted puede escribir una nueva prueba con bastante rapidez. Sin embargo, aquí hay un rápido bosquejo de solución:

Si $y_n \in A$ usted saber que $y_n = x_{n_k}$ o $y_n = x$. A partir de esto, se puede concluir que $y_n$ es el tiempo constante o $y_n$ converge a $x$. De cualquier manera usted ver que $y_n$ converge a un límite de contenido en $A$.