Para un entero positivo $n$ $5n+1$ $7n+1$ son cuadrados perfectos. Mostrar que $n$ es divisible por 24.

Question

Yo:

$5n + 1 = k^2$

$7n +1 = \frac{7k^2-2}5$

Sólo que no sé cómo proceder después de esto. Por favor, ayudar.

Answer 1

Si $x\equiv1(mod\ 3)$,$7n+1\equiv2(mod\ 3)$. Si $x\equiv2(mod\ 3)$,$5n+1\equiv2(mod\ 3)$.

Pero un cuadrado perfecto no puede ser congruentes 2 mod 3, entonces x debe ser divisible por 3.

Los restos modulo 8 de los números son :

? para(n=0,7,print(n," ",Mod(7*n+1,8)," ",Mod(5*n+1,8)))

0 Mod(1, 8) Mod(1, 8)

1 Mod(0, 8) Mod(6, 8)

2 Mod(7, 8) Mod(3, 8)

3 Mod(6, 8) Mod(0, 8)

4 Mod(5, 8) Mod(5, 8)

5 Mod(4, 8) Mod(2, 8)

6 Mod(3, 8) Mod(7, 8)

7 Mod(2, 8) Mod(4, 8) ?

Dado que la única residuos cuadráticos módulo 8 se 0,1,4 , debemos tener $n\equiv0$ (mod 8)

Por lo tanto, de 24 debe dividir n.

Answer 2

Dado, tanto en $5n+1$ $7n+1$ son cuadrados perfectos, Tenemos que demostrar, $24\mid n$

Tenga en cuenta la suma: $(5n+1)+(7n+1)=12n+2$. Este número de hojas el resto $2$ cuando se divide por $3$. Esto es posible sólo bajo tres situaciones:
a) $5n+1\equiv 2\mod3$ $7n+1\equiv 0\mod3$
b) $5n+1\equiv 1\mod3$ $7n+1\equiv 1\mod3$
c) $5n+1\equiv 0\mod3$ $7n+1\equiv 2\mod3$

Sin embargo, un cuadrado perfecto, que nunca deja resto $2$ cuando se divide por $3$. Por lo tanto, de los casos (a) y (c) no puede existir. La única opción, es tanto el caso (b). Por lo tanto, $5n+1$ $7n+1$ dejar resto $1$ cuando se divide por $3$. Por lo tanto, $5n$ $7n$ son divisibles por $3$. Como _gcd_$(5,3)=1$ y _gcd_$(7,3)=1$, llegamos a la conclusión de que $3$ divide $n$.

Exactamente similar argumento es la divisibilidad por $8$: La suma de $12n+2$ deja resto $2$ o $6$ cuando se divide por $8$.
Pero, $k^2\equiv 0,1,4 \mod 8$.
Por lo tanto, la única forma de dos cuadrados perfectos se puede añadir hasta un número que deja resto $2\mod 8$ es cuando cada uno de ellos deja resto $1 \mod 8$. Por lo tanto, $5n$ $7n$ son divisibles por $8$, y como $5$ $7$ ambos son coprime con $8$, por lo tanto $8\mid n$.

Finalmente, debido a que $8$ $3$ son coprime, por tanto, su producto también se dividen $n$. Por lo tanto $24\mid n$. Así resultó.