incrustación n-canónica

Question

Dejemos que $C$ sea una curva estable de género $g>1$ y que $ \omega $ sea su gavilla dualizante. Sea $n$ sea un número entero mayor que 2. ¿Alguien sabe cómo demostrar que $\omega^{\otimes n}$ separa puntos y vectores tangentes? es decir, mostrar $\omega^{\otimes n}$ ¿provoca una incrustación en un espacio proyectivo? Si $ C $ es una curva suave, vale, podríamos usar el Riemann-Roch para hacerlo, pero ¿y en este caso nodal? ¿Alguien lo sabe?

Answer 1

Hay que suponer $C$ tiene un género aritmético $\ge 2$ y es estable (no basta con que sea nodal, ya que $\omega$ podría entonces ser trivial en algunos componentes irreducibles).

Se puede encontrar una prueba en Deligne-Mumford: La irreducibilidad del espacio de curvas de género dado Teorema 1.2. No es tan fácil.