$T$ auto-adjunto en el espacio de Hilbert $H$, $T^n=T^{n+1}$ se $T$ ser una proyección ortogonal del operador?

Question

He visto varias respuestas y pruebas aquí en MSE que un auto-adjunto del operador $T$ sobre un espacio de Hilbert $H$ donde $T^2=T$, implica $T$ ser una proyección ortogonal del operador.

El pensamiento me llamó la atención; ¿qué pasaría si la condición $T^2=T$ es reemplazado por $T^3=T^2$ o en su lugar por $T^4=T^3$ o por qué no, más generalmente, por $T^n=T^{n+1}$ algunos $n\in\mathbb{N}$? Que esto todavía implican $T$ es una proyección ortogonal del operador?

Me imagino que alguien debe haber pensado en esto antes de mí? En ese caso, quizás hay una referencia en la literatura para este o tal vez la prueba es la forma más simple de lo que yo podría esperar?

Answer 1

Un selfadjoint operador $T$ tiene la propiedad de que $\mathcal{N}(T)=\mathcal{N}(T^2)$ porque $$\|Tx\|^2=\langle T^2x,x\rangle \le \|T^2x\|\|x\|.$$ Therefore, if $T^{n+1}=T^{n}$, then $T^{n}(T-I)=0$ implies $T(T-I)=0$, que es la condición para una proyección ortogonal.

Answer 2

$T$ es ortogonalmente diagonalisable, es decir, $T=U^*DU$ donde $D$ es diagonal y $U$ ortogonal.

Si $T^n=T^{n+1}$, para algunas de las $n$,, $D^{n+1}=D^n$, y por lo tanto cada elemento diagonal $\lambda$ satisface $\lambda^n=\lambda^{n+1}$, y por lo tanto $\lambda\in\{0,1\}$. Así que todos los autovalores de a $D$ son unos o ceros y por lo tanto $T$ es una proyección ortogonal.

Answer 3

Para$n = 0$, $T^{n+1} = T^n$ dice $T = \operatorname{id}$, lo $T$ es una proyección ortogonal. Para $n \geqslant 1$, la condición de rendimientos $T^n = T^{n+1} = T^{(n+1) + 1} = T^{n+2} = \dotsc = T^{2n} = (T^n)^2$, lo $T^n$ es una proyección ortogonal. Pero si $T^n$ es la proyección ortogonal sobre $S$, $T^n = T^{n+1}$ dice $T\lvert_S = \operatorname{id}_S$, y desde $T$ es auto-adjunto, $S^{\perp}$ $T$- subespacio invariante. Y $T\lvert_{S^{\perp}}$ es auto-adjunto nilpotent operador, por lo tanto $T\lvert_{S^{\perp}} = 0$. Pero, a continuación, $T = T^n$ es la proyección ortogonal sobre $S$.