Demostrar que para cualquier $1<p<\infty$ el conjunto $\{ f \in L^p(\mathbb{R}) \cap L^1(\mathbb{R})\}$ donde $ \int_{\mathbb{R}} f=0$ es denso en $L^p(\mathbb{R})$.

Question

Demostrar que para cualquier $1<p<\infty$ el conjunto $\{ f \in L^p(\mathbb{R}) \cap L^1(\mathbb{R})\}$ donde $ \int_{\mathbb{R}} f=0$ es denso en $L^p(\mathbb{R})$. Es verdadera si $\mathbb{R}$ es reemplazado por $[0,1]$? También lo podemos decir al $p=1$?

Alguna pista? Gracias

Answer 1

Lema: Suponga $p>1.$ Deje $c\in \mathbb R.$ Entonces existe una secuencia $f_n\in L^1\cap L^p$ tal que $\int f_n = c$ todos los $n,$ $\|f_n\|_p \to 0.$

Vamos a suponer que la lema. Deje $f\in L^1\cap L^p$ y poner $c= - \int f.$ Por el lema, hay $f_n \in L^1\cap L^p$ tal que $\int(f+f_n) = 0$ todos los $n,$ $\|f_n\|_p \to 0.$ $f+f_n \to f$ $L^p,$ así que hemos terminado en el caso de $f\in L^1\cap L^p.$ Porque $L^1\cap L^p$ es denso en $L^p,$ también hemos demostrado el resultado general.

Os dejo la prueba del lema a usted por ahora.

---

Segunda pregunta: Aquí trabajamos en $[0,1].$ La respuesta es no. Deje $f\equiv 1.$ Supongamos que hay $f_n\in L^1\cap L^p$ $\int f_n = 0$ tal que $f_n \to f$ $L^p.$ Debido a la convergencia en $L^p$ implica la convergencia en $L^1$ sobre conjuntos finitos medida (Titular), luego tenemos la $0 = \int f_n \to \int f =1,$ contradicción.