Mostrando que bien ordenados los subconjuntos de a $P(\omega)$ son contables

Question

Tengo el siguiente problema:

Muestran que no hay incontables subconjunto de $P(\omega)$ está bien ordenado por la relación de inclusión.

Creo que me quieren hacer mediante su inclusión en un separables completa densa orden lineal (como $\mathbb{R}$), de las que ya he demostrado que no puede tener innumerables bien subconjunto ordenado.

Cualquier sugerencias o ideas son bienvenidas.

Answer 1

Decir $X$ es un subconjunto ordenado de $P(\omega)$. Para cada una de las $x \in X$ que no es el mayor elemento de $X$, vamos a $y$ ser el más pequeño entre los elementos de $X$ que son estrictamente mayor que $x$, y elija $f(x) \in y \setminus x$. De esta manera se obtiene un inyectiva ($x$ es el mayor elemento de $X$ que no contengan $f(x)$) mapa de $X$ (posiblemente menos un elemento) a $\omega$, que es contable.

Answer 2

Supongo que por "inclusión" en los que media la relación ⊆ B.

Considerar un subconjunto ordenado σ ⊆ P(ω). Claramente, con respecto a la inclusión, σ tiene algún tipo ordinal; la pregunta es si este tipo es contable. Para cualquier a,b ∈ σ tales que a ⊂ b, tenemos |b \ a| ≥ 1. Por lo tanto, la cardinalidad de V = [ ∪ σ ] ⊆ ω es al menos la de la orden de tipo de σ, y en la mayoría de ω.