Acabo de terminar el capítulo de la diferenciación. Pero aún tengo la confusión en la comprensión del concepto de la misma.Observo un hecho de que si podemos trazar una tangente a una curva en cualquier punto de la misma o en otras palabras, si es posible hacer la mejor aproximación lineal a una curva en cualquier punto, entonces, se dice que la curva o, equivalentemente, la función es diferenciable en ese punto.Pero yo no relacionar este concepto a otros hechos de la diferenciabilidad como la velocidad o la aceleración.¿Por qué consideramos que la mejor aproximación lineal de la curva de desplazamiento, atravesada por una partícula en cualquier tiempo t, como la velocidad de la partícula en el tiempo t. Tengo una confusión similar con respecto a la aceleración. Por favor me ayude en la comprensión de estos hechos importantes que recuerda que soy nuevo en este tema.Gracias de antemano.
Respuestas
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Nos relacionamos derivación del movimiento con respecto al tiempo, debido a que estos SON los derivados.
Para entender esto primero vamos a dibujar un gráfico donde en el eje y, es a distancia, y en el eje x es el tiempo. Digamos que algo se está moviendo en una velocidad constante. La línea que se basan en la distancia-tiempo de la gráfica sería una línea recta en la forma de $ax+b$. Si nos tomamos la derivada para encontrar la velocidad en un cierto punto en la distancia-gráfico de tiempo, vamos a ver, que nos va a obtener sólo $a$, la cual es constante y sólo como cabría esperar de una velocidad de un objeto con una distancia lineal-gráfico de tiempo.
Por otro lado, si la ponemos a una distancia-tiempo de la gráfica de una función como $x^2$, para calcular svelocity en un cierto punto, va a ser más difícil de hacer. Para calcular lo que tendría que elegir otro punto, calcular el cambio en y, y dividir por el cambio en x, que es exactamente la definición de derivada. Como usted puede saber de la física, la fórmula para la velocidad es el punto final minutos punto de partida dividida por el tiempo:
$$v=\frac{d_{final}-d_{initial}}{t}$$
Pero uando usted, por ejemplo, $x^2$ según el gráfico, la velocidad no sería exacto, por eso hemos añadido un límite si inititial distancia, así como el tiempo, acercarse a 0. Esta es la definición de la derivada a la DERECHA ALLÍ. Nos acercamos a 0 para ambos init distancia y el tiempo, porque el tiempo es sólo el cambio en x. Inicial de la distancia es también el cambio en x de la final de la distancia. Así que el pensamiento más profundo, es casi la misma cosa, incluso cuando no lo es.
Por lo que para calcular la velocidad en un punto determinado de una distancia-tiempo gráfico, habría que utilizar derivados, de lo contrario obtendríamos resultados que no son exactos. Si usted dibuja un ejemplo de la gráfica en papel y el gráfico de una función en ella, y tratar de averiguar la velocidad en cierto punto, usted verá por qué utilizamos derivados de este.
Mismo se aplica para órdenes superiores como la aceleración. Vamos a traer de vuelta la distancia lineal-gráfico de tiempo. Es en forma de $ax+b$. Si tomamos un derivado de esto, vamos a obtener la constante de $a$, lo que sería una constante de velocidad. De la física, sabemos que cuando la velocidad/velocidad es constante, no hay aceleración. Cuando tomamos la derivada de la constante de velocidad de $a$, verás que tener 0, que de manera informal demuestra que los derivados están presentes en la física del movimiento.
EDIT: y si no me equivoco, fueron derivados a la mayoría de descubierta probablemente debido a la física de movimiento en lugar de las propiedades de la física de movimiento descubierto porque de derivados. Newton fue uno de los inventor del cálculo, y él hizo todas las más importantes leyes de la física, así que usted puede ver la conexión entre esos dos descubrimientos.
La derivada de $f$ tiempo $t$ se define como $f'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}$. Aquí hay dos maneras de pensar acerca de esta definición. Punto de vista 1: $\frac{f(t+h) - f(t)}{h}$ es la tasa promedio de cambio de $f$ sobre el intervalo de $[t,t+h]$. El promedio de la tasa de cambio se aproxima a la tasa instantánea de cambio como $h \to 0$. Punto de vista 2: $\frac{f(t+h) - f(t)}{h}$ es la pendiente de la secante línea que conecta $(t,f(t))$$(t+h,f(t+h))$. La pendiente de la secante de la línea de los enfoques de la pendiente de la línea tangente como $h \to 0$.
Usted probablemente sabe, el concepto de pendiente. Su fórmula es $\frac{y_a-y_b}{a-b}$ donde $a$ $b$ son algunos de los valores en la $x$-eje y $y$ es la función. Un derivado es la idea de que la pendiente fuera de cualquier función continua puede ser encontrado. Este se define como $$\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ As $h$ se hace más pequeño y más pequeño, se vuelve más y más precisa. Es útil porque puede ayudar a encontrar las velocidades y aceleraciones de la que usted habló. La pendiente de la función de desplazamiento es la velocidad y la pendiente de la velocidad es la aceleración.
