Construir el operador tal que la división de los valores de la expectativa es igual al valor de la expectativa del operador

Question

¿Es posible construir un operador $\hat{C}$ $\hat{A}$ y $\hat{B}$ tal que: $$\frac{\langle \psi|\hat{A}|\psi\rangle}{\langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle} = \langle \psi|\hat{C}|\psi\rangle, para cualquier estado $|\psi\rangle$?

Answer 1

No. La r.h.s. es una forma cuadrática, mientras que el l.h.s. no es. Por ejemplo, en $\psi\to\lambda\psi$ la r.h.s. como las escalas de $\lambda^2$, mientras que el l.h.s. sigue siendo el mismo.

Answer 2

Digamos que esta ecuación tiene de particular $|\psi \rangle$. Poner a $N |\psi \rangle$ resultaría en:

$$\frac{\langle \psi| \hat{A} |\psi \rangle}{\langle \psi| \hat{B} |\psi \rangle} = |N|^2 \langle \psi| \sombrero{C} |\psi \rangle$$

Que, naturalmente, sólo puede tener por $|N|^2 = 1$.