Moscú Olimpíadas de Matemáticas de 1962 2 refleja triángulo equilátero

Question

Tengo dificultad para demostrar este problema desde Moscú Olimpiada Matemática de 1962.

Reflexionamos un triángulo equilátero con un lado marcado a través de uno de sus lados. Entonces nosotros del mismo modo reflejan el triángulo resultante, etc., hasta que en un determinado paso el triángulo vuelve a su posición inicial. Demostrar que el lado marcado también vuelve a su posición inicial

y también otra de la siguiente manera: Demostrar que el número de reflexiones es aún.

Answer 1

Considere la posibilidad de una malla triangular con los siguientes regular la coloración de sus bordes.

Answer 2

Aquí es una intuición, o perezoso idea para su consideración:

Desde triángulos equiláteros tienen ángulos de $60^0$, se puede poner una prueba basada en la cíclico grupo bajo la multiplicación formado por la $6$-th raíces complejas en el círculo unitario, y teniendo en cuenta las reflexiones como las rotaciones de el lado marcado en los poderes de la $z^2$ (en rojo):

Answer 3

Aquí sólo croquis de la solución, después de lo cual, creo, usted puede hacer el resto.

Para la segunda parte, considere el siguiente diagrama. Vamos a todo el plano del papel en el color de esta manera. El triángulo comienza su andadura de uno de los negros o de uno de los incoloros cajas. Es claro que se mueve en la que el contraste de color en cada movimiento. Así que, para volver a su posición inicial, es decir, el mismo color, se debe completar un número par de movimientos.

Para la primera parte, considere la posibilidad de un triángulo y el número de sus lados como $1,2,3$. Ahora, el conjunto de posibles rutas de acceso en el diagrama, así, usted puede marcar cada triángulo en el cuadro de $1,2$ o $3$ dependiendo del número de al lado que aterriza en el lateral. Tenga en cuenta que cada cara puede tener un número único. Este es un indicio fuerte.