Que la superficie es homotopy equivalente a $\Bbb{R}^4$ menos los aviones $x=y=0$, $z=w=0$?

Question

En la finalización de un ejercicio que me han demostrado que $\Bbb{R}^3$ menos de los ejes $x=0$, $y=0$, y $z=0$ es homotópica equivalente al cubo gráfico de $Q_3$. Para visualizar esto, $\Bbb{R}^3-0$ es homotopy equivalente a $S^2$; a continuación, retire la $x=0$ eje y tenemos un espacio equivalente a un "cilindro"; y, por último,eliminar el $y=0$ $x=0$ ejes y tenemos un pinchazo en un cilindro: la expansión de las punciones da la gráfica.

La siguiente parte de la pregunta me pide que considere la posibilidad de $\Bbb{R}^4$ menos los aviones $x=y=0$, $z=w=0$. He intentado un enfoque similar, sin embargo $\Bbb{R}^4$ es mucho más difícil de imaginar. Empezar con $\Bbb{R}^4-0\simeq S^3$. Creo que la eliminación de la $x=y=0$ eje da una superficie en $\Bbb{R}^4$ a algo parecido a un cilindro, pero "encierra" la $x=y=0$ plano. El siguiente corte/de la punción no tengo idea, sin embargo. No puedo pensar en cómo quitar $z=w=0$, sin salir de la superficie resultante desconectado.

Otra idea que yo tenía estaba tratando de construir algo análogo a $Q_3$. Donde $Q_3$ tenía ocho vértices, uno correspondiente a cada octante, tal vez mi superficie en $\Bbb{R}^4$ tendrá dieciséis bordes con treinta y dos superficies correspondientes a los adyacentes orthants (compartiendo una hyperplane).

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}$A venir a Steve D comentario desde un ángulo ligeramente diferente, puede ayudar a ver el complemento ortogonal de planos de coordenadas en $\Reals^{4}$ $\Cpx^{2}$ con los "ejes" $\Cpx \times \{0\}$ $\{0\} \times \Cpx$ eliminado. Lo que queda es $\Cpx^{\times} \times \Cpx^{\times}$.