Otro preocupante sistema de ecuaciones

Question

He estado trabajando en la solución de algunas ecuaciones lineales resultantes de los diferentes problemas de optimización, pero me quedo pegado. Ahora mismo tengo el problema siguiente:

Estoy tratando de resolver el sistema de ecuaciones para $x$:

$$Ax-\alpha \frac{Bx}{ x^tBx}=c$$ $$e^tx=1$$ donde $e=(1,...,1)^t$.

donde $x,c\in \mathbb{R}^n$ ambos $A,B \in \mathbb{R}^{n\times n}$ es positiva definida y, de hecho, incluso $$A-\frac{\alpha B }{x^t B x}$$ es positiva definida, por lo que tenemos una linda invertibility propiedades.

Cualquier ayuda, referencias, o mucho mejor, una solución - es muy apreciada!

EDIT: algo más de trabajo a continuación.

Si establecemos $x=\sqrt{B}^{-1}z$ tenemos $$A\sqrt{B}^{-1}z-\alpha\frac{\sqrt{B}z}{z^tz}-c=0$$ o para $D=\sqrt{B}^{-1}A\sqrt{B}^{-1}/\alpha$ $p=\sqrt{B}^{-1}c/\alpha$ $$0=Dz-\frac{z}{z^tz}-p\Leftrightarrow (D-\frac{pz^t}{z^tz})z=\frac{z}{z^tz}.$$ Así que parece que $z$ es un múltiplo de un valor propio de una matriz que depende a su vez de $z$. Es allí cualquier manera de la que puedo extraer analyical soluciones!?

Answer 1

Si descomponemos el vector $x$ como un componente a lo largo y ortogonal a $e$, (es decir, $x=e+\Delta:\Delta \cdot e = 0$) y, a continuación, aplicar esto a la forma simplificada proporcionada por @TheoBendit, obtenemos:

$$(e+\Delta)^t(A(e+\Delta)-c)=\alpha \implies$$ $$e^tAe+\Delta^tAe+e^tA\Delta+\Delta^tA\Delta-e^tc-\Delta^tc = \alpha \implies$$ $$\langle\Delta,\mathbf{a}_{\cdot j}\rangle+ \langle\Delta,\mathbf{a}_{i\cdot}\rangle +\mathbf{Q}_{A}(\Delta)-\langle c,\Delta\rangle=\alpha-\sum a_{ij}+\sum c_i \equiv K$$

Así, hemos (reducido?!) esta a una ecuación de segundo grado en $n$ variables. Si dejamos $\delta_i$ $i$ésima componente de $\Delta$, entonces:

$$\left(2\sum a_{ij}-\sum c_i\right) \sum \delta_i+\sum\sum a_{ij}\delta_i\delta_j-K=0$$

Sujeto a:

$$\sum \delta_i = 0$$

Deje $\mathbf{v}:=(v_1,v_2,...,v_n)$ ser una solución a esta fórmula, entonces su $x$$x=v+e$. Probablemente habrá varias soluciones a esta fórmula, pero ya que es una forma cuadrática, se puede aplicar cualquier número de multivariante raíz encontrar algoritmos para resolverlo. O usted puede buscar el tesoro de respuesta en el MSE. Aquí entrar en el enlace de la descripción aquí.

También, el problema general de la solución de underdefined sistemas cuadráticos (igual que aquí), ha sido estudiado. Ver este documento y aquí.