Para el circuito de arriba, me preguntaba cómo han obtenido la fórmula
$$\omega_0 = \sqrt{\dfrac{1}{LC} - \Big(\dfrac{R}{L}\Big)^2}$$
Si alguien es capaz de guiarme a través de esto sería fantástico.
La impedancia es \$\dfrac{R + j\omega L}{R + j\omega L +\frac{1}{j\omega C}}\cdot\dfrac{1}{j\omega C}\$ = \$\dfrac{R + j\omega L}{j\omega RC + j^2\omega^2 LC +1}\$ = \$\dfrac{R + j\omega L}{j\omega RC - \omega^2 LC +1}\$
Si multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador, obtendremos una ecuación compleja en la parte superior y una ecuación no compleja (real) en la parte inferior. La resonancia se produce cuando la parte imaginaria del nuevo numerador es igual a cero, por lo que trabajando sólo con el nuevo numerador obtenemos: -
Nuevo numerador = \$(R+j\omega L)\cdot (-j\omega RC - \omega^2 LC +1)\$
La parte imaginaria se reduce a \$j(\omega L - \omega^3 L^2 C - \omega C R^2)\$
Igualando esto a cero obtenemos, \$\omega L - \omega^3 L^2 C - \omega C R^2 = 0\$
Por lo tanto, \$\omega^2 L^2 C = L - CR^2\$ y \$\omega^2 = \dfrac{1}{LC} - \dfrac{R^2}{L^2}\$
EDITAR la sección que describe otras "resonancias"
También es interesante observar que hay otra resonancia en juego. En primer lugar, la "resonancia" anterior se define por la impedancia que mira a la red LCR siendo puramente resistiva - esto es ligeramente diferente a la frecuencia de resonancia "natural" (también puramente resistiva) cuando se ignora R.
En esta situación \$\omega = \sqrt{\dfrac{1}{LC}}\$
Sin embargo, el pico real de la respuesta (como se vería en un analizador de espectro y no puramente resistivo) se encuentra igualando el denominador a cero y resolviendo para s donde s = j \$\omega\$ .
\$s^2LC +sRC +1=0\$ o
\$s^2 + s\frac{R}{L} + \frac{1}{LC} = 0\$
Usando la solución general de una cuadrática, obtenemos: -
\$s= \dfrac{-\frac{R}{L} +/- \sqrt{\frac{R^2}{L^2} - \frac{4}{LC}}}{2}\$
Si utilizamos un truco de invertir los signos dentro de la parte de la raíz cuadrada y llevar la raíz cuadrada de -1 (j) fuera obtenemos: -
\$s = \dfrac{-\frac{R}{L} +/- j\sqrt{\frac{4}{LC} - \frac{R^2}{L^2}}}{2}\$
Ahora, dividir por dos y obtenemos: -
\$s = -\frac{R}{2L} +/- j\sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}\$
Como debemos saber la parte "jw" es la que vemos en un gráfico de bode por lo que la magnitud del pico de la respuesta (no cuando la impedancia es puramente resistiva) es cuando: -
\$\omega = \sqrt{\dfrac{1}{LC} - \dfrac{R^2}{4L^2}}\$
Si se dibujara un diagrama de polos cero, las partes imaginarias de los polos estarían en
+/- \$\sqrt{\dfrac{1}{LC} - \dfrac{R^2}{L^2}}\$ es decir, ligeramente diferente a +/- \$\sqrt{\dfrac{1}{LC} - \dfrac{R^2}{4L^2}}\$
¡@sherrellbc no, la resonancia puede significar varias cosas pero, en la pregunta, reconocí la fórmula como la que se aplica cuando la impedancia es puramente real - está cerca del pico de la respuesta si dibujas un gráfico de bode - una fracción de un porcentaje más o menos diferente y probablemente a nadie le importaría excepto a mí LOL!
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Para aclarar la respuesta de Andy tienes que encontrar la frecuencia donde la impedancia es real (es decir, donde la parte j es cero). La respuesta de Andy hace esto y si yo fuera tú lo aceptaría.
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¿Puedo aclarar algo más? Es decir: El punto de resonancia en un circuito de tanque paralelo con pérdidas NO es siempre la frecuencia donde se produce el máximo, sino donde la fase es cero (parte imaginaria=0). Esta es la DEFINICIÓN de resonancia.