Demostrar $f(x)$ no tiene ningún número racional raíces

Question

Deje $f(x)=ax^2+bx+c, \ a,b,c\in \mathbb{Z}$, y tal $$|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|,|f(4)|,|f(5)|$$ son números primos,

mostrar que $f(x)=0$ no tiene ningún número racional raíces

Answer 1

Sugerencias: Si $f(x) = ax^2+bx+c$ tiene una raíz racional, entonces, tanto de sus raíces son racionales, y que puede ser factorizado como $f(x) = (p_1x+q_1)(p_2x+q_2)$ para algunos enteros $p_1,q_1,p_2,q_2$.

Si $|f(x)| = |p_1x+q_1| \cdot |p_2x+q_2|$ es el primer para algún entero $x$, entonces cualquiera de las $p_1x+q_1 = \pm 1$ o $p_2x+q_2 = \pm 1$.

Para cuántos valores de $x$ podemos tener $p_1x+q_1 = \pm 1$ o $p_2x+q_2 = \pm 1$?