Conectado y no de la trayectoria-conectado

Question

Tenemos $\mathbb R^2$ (plano real) con la topología Euclidiana.

Definir $X(n) = \{1/n\} \times [-n,n]$, todos los subespacios de $\mathbb R^2$.

$$Y = \mathbb R^2 \setminus \bigcup_{n\ge1}X(n)$$

Demostrar que $Y$ está conectado pero no de trayectoria-conectado. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Gracias de antemano!

Answer 1

La prueba de que $Y$ no es trayectoria-conectado:

Considere la posibilidad de $(x_0,y_0) = (0,0)$$(x_1,y_1) = (2,0)$. Estos son los puntos en $Y$. Deje $\gamma(t)$ ser un camino de $\mathbb{R}^2$ $(x_0,y_0)$ a $(x_1,y_1)$ ($t$ de$0$$1$). Escribir $\gamma(t) = (x(t),y(t))$ y la observación de que $y(t)$ está delimitado, en valor absoluto, decir por un entero $N$. A continuación,$x(t)$$0$$2$. Por lo tanto, existe una $t_0$ tal que $x(t_0) = 1/N$. Esto demuestra que $\gamma(t_0)$ no $Y$.

La prueba de que $Y$ está conectado:

Escribir $Y$ $A \cup B$ cuando la unión es distinto, y $A = \{(x,y) \in Y: x \leq 0\}$$B = Y - A$. Es fácil mostrar que $A$ $B$ trayectoria-conectado, por lo tanto conectado. Por topología general, la adhesión $\bar{B}$ $B$ $Y$ también está conectado. Por lo tanto $A$ $\bar{B}$ están conectados subespacios que se cruzan, no trivialmente (en el eje vertical). Esto demuestra que $Y = A \cup \bar{B}$ está conectado.

Answer 2

Las sugerencias.

Para la ruta de acceso-conexión: Cualquier camino es la imagen continua del conjunto compacto $[0,1]$, por lo tanto limitada.

Para la conexión: Mostrar que una función continua $f \colon Y \to \{0,1\}$ debe ser constante.