Proyección de Gauss en Coordenadas Esféricas

Question

Considerar un punto con coordenadas esféricas $\vec{r}_0=(r_0, \theta_0, 0)$. La forma esférica de la distribución gaussiana centrada en $\vec{r}_0$ $f(\vec{r})=Ne^{|\vec{r}-\vec{r}_0|^2/A}$ donde $N$ es el factor de normalización de e $A$ es una medida de la propagación.

Estoy interesado en la proyección de $f$ a de la $\theta$ coordinar, $f_\theta(\theta)=\int_0^\infty\int_0^{2\pi} f(\vec{r})r\sin\theta\,d\phi\,dr$.

Utilizando la distancia euclidiana fórmula $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$ y sustituyendo en las coordenadas cartesianas para $\vec{r}=(r,\theta,\phi)$ con $$x=r\cos\phi\sin\theta\;;\;y=r\sin\phi\sin\theta\;;\;z=r\cos\theta$$ and similarly for $\vec{r}_0$ con

$$x_0=r_0\sin\theta_0\; ; \; y_0=0\;;\;z_0=r\cos\theta.$$ $$f(\vec{r})=Ne^{(-r^2+2rr_0(\cos\phi\sin\theta\sin\theta_0+\cos\theta\cos\theta_0)-r_0^2)/A},$$ lo $$f_\theta(\theta)=\int_0^\infty\int_0^{2\pi} Ne^{(-r^2+2rr_0(\cos\phi\sin\theta\sin\theta_0+\cos\theta\cos\theta_0)-r_0^2)/A}r\sin\theta\,d\phi\,dr.$$

Utilizando el hecho de que $\int_0^{2\pi}e^{x\cos\phi}=2\pi I_0(x)$ donde $I_0(x)$ es función modificada de Bessel de primera especie, puedo simplificar $f_\theta(\theta)$ a $$f_\theta(\theta)=N\sin\theta2\pi e^{-r_0^2/A}\int_0^\infty e^{(-r^2+2rr_0\cos\theta\cos\theta_0)/A}I_0(2rr_0\sin\theta\sin\theta_0/A)r\,dr$$

Es allí una manera de evaluar esta integral?

Voy a ser en última instancia el uso de este como un núcleo para la estimación de densidad de kernel. Si no es posible evaluar la integral, yo sería feliz con una evaluación aproximada mientras voy a ser capaz de implementar y no era excesivamente ineficiente para evaluar.

Answer 1

Esta integral tiene una muy simple de evaluación en el límite de $A\rightarrow 0$, muy pequeño difusión. De hecho, en la distribución sentido,

$$\lim_{A\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{\pi A}}e^{-\frac{(r-r_0\cos\theta\cos\theta_0)^2}{A}}=\delta(r-r_0\cos\theta\cos\theta_0)$$

y así

$$f_\theta(\theta)=N'\sin\theta 2\pi e^{-\frac{r_0^2}{A}(1-\cos^2\theta\cos^2\theta_0)}\int_0^\infty\delta(r-r_0\cos\theta\cos\theta_0)I_0\left(\frac{2}{A}rr_0\sin\theta\sin\theta_0\right)rdr$$

con $N'$ nuevo una constante de proporcionalidad y he asumido que dependerá $A$ desde el inicio debido a la normalización (esto debe ser dado explícitamente en la pregunta). En este punto, la evaluación de la integral debe ser un asunto sencillo.

También se puede extender este simple argumento más general asintótica de expansión en $\frac{1}{A}$ con las técnicas estándar. La idea es esta. Considere la integral

$$I(\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_0^r e^{-\frac{(r-r_0)^2}{2\sigma^2}}\phi(r)r dr$$

y su objetivo es calcular la asintótica de la serie para $\sigma\rightarrow 0$. Ahora, cambiar la variable a $y=\frac{r-r_0}{\sqrt{2}\sigma}$ y se obtiene

$$I(\sigma)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\frac{r_0}{\sqrt{2}\sigma}}^\infty e^{-y^2}\phi\left(\sqrt{2}\sigma y+r_0\right) \left(\sqrt{2}\sigma y+r_0\right)dy$$

y se puede expandir $\phi\left(\sqrt{2}\sigma y+r_0\right)$ $\sigma=0$ la obtención de

$$I(\sigma)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{\phi^{(n)}(r_0)}{n!}(\sqrt{2}\sigma)^n\int_{-\frac{r_0}{\sqrt{2}\sigma}}^\infty e^{-y^2}y^n\left(\sqrt{2}\sigma y+r_0\right)dy.$$

Por último, extender el extremo inferior del intervalo de integración a $-\infty$ y se queda con la evaluación de las integrales

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}y^k dy$$

que son dadas por la $\Gamma$ función y por lo tanto son bien conocidos. Tenga en cuenta que el primer término de esta serie es el que he obtenido con la distribución de Dirac. El otro que he obtenido ahora son todas las correcciones en los poderes de $A$.