Si $f(0)=0 ,f(1)=1 ,f'(0)=f'(1)=0$, $|f''(x)|>4$

Question

Deje $ f $ ser una doble función derivable con $ f (0) = 0, f (1) = 1$$ f '(0) = f' (1) = 0 $,$ 4 \leq | f'' (x ) | $, para algunas de las $ x \in [0,1] $.

He intentado utilizar el valor medio teorema para los derivados con

$ \dfrac{f '(1)-f' (0)}{f (1)-f (0) } = f '(c) = 0$

así que hay un valor en el que $ f ''(c) = 0 $, pero eso no me ayuda.

Alguna idea? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Deje $g(x)=f'(x)$. Entonces sabemos $\int_0^1 g(x)\,dx=1$$g(0)=g(1)=0$.

Si $|g'(x)|<4$ en todas partes, entonces, debido a la MVT $g(x)$ debe ser menor que $4x$ y también menor que $4(1-x)$. Por lo $g$ está enteramente dentro del triángulo con las esquinas $(0,0)$, $(\frac 12,2)$, $(1,0)$. Pueden integral, a continuación, ser lo suficientemente grande?