¿Qué significado físico de hacer la dimensión de Wigner d-matrices tienen?

Question

Wigner D-matrices se define como $D_{m'm}^j(\phi,\theta,\psi)=\langle jm'|R(\phi,\theta,\psi)|jm\rangle$; produce una matriz cuadrada (índices de $m$$m'$) de la dimensión de $2j+1$. Es también el caso de que estas matrices (para todos los positivos $j$ varios de $1/2$) son una representación de la rotación de grupo $SU(2)$, que es una cubierta doble de $SO(3)$.

Ahora, puedo ver esto para el caso específico $j=1$ (3x3 matrices que representan las rotaciones en 3 dimensiones el espacio Euclidiano), pero, ¿qué significa para otros valores de $j$? Dicen por $j=3/2$, hace que representan el subgrupo de 3 dimensiones rotaciones dado algún parámetro, en una de las 4 dimensiones del ambiente de geometría?

Gracias.

Answer 1

Armónicos esféricos formar una base de soluciones de la ecuación de Laplace, y (tres dimmensional en este caso) Laplaciano es invariante bajo rotaciones, así que si f(x,y,z) es una solución para esta ecuación, entonces g(x,y,z) = f( R(x,y,z : a,b,c) de SO(3)) Por lo tanto, si usted tiene un soution (o una cierta mecánica cuántica de la función de onda de algunos esféricamente simétrica del sistema) en la base de armónicos esféricos, se puede calcular, de los cambios en su girado sistema (uso de Wigner-D de la matriz, que es exactamente la representación de SO(3) en la base de armónicos esféricos). Esto es para el SO(3) y entero j valores (relacionado con el momento angular del sistema).

Answer 2

Wigner matrices son siempre unitaria, por lo que en realidad son las rotaciones en un espacio complejo, que conservan en longitud.Por lo tanto, son de hecho un(n) (irreductible) la representación de la rotación del grupo SU(2). En particular los espacios con la dimensión de $2j+1$ donde $j$ es un número entero positivo se tensor de representaciones, uno puede pensar en ellos como compuesto de la distancia Euclídea 3 dimensiones del espacio por tensoring. Por ejemplo, si tienes dos 3-vectores $a$ , $b$ usted puede formar el tensor antisimétrico $T_{ij}=(a_ib_j -a_j b_i)$ y esto se va a transformar de nuevo como un vector 3 (sólo tiene 3 componentes independientes $T_{12}, T_{23},T_{13}$ que se puede concebir como componentes de un nuevo vector de $c_i$). La sutil punto es que cuando $j$ es la mitad de entero (o deberíamos decir la mitad-impar?) el Wigner matrices NO representan de MODO(3), sino que SU(2) (en la terminología de la física dice que no representan de MODO(3), pero son el doble de valores de representaciones). Uno no puede pensar de la mitad entero representaciones como compuesto de vectores mediante tensor de productos, uno debe introducir spinors en el producto tensor para lograr este tipo de representaciones, y en realidad spinors son los bloques de construcción de todas las representaciones de SU(2), que incluyen los de SO(3) (tensor)