Esta prueba es mucho más simple y más directa que la que se encuentra en la mayoría de los libros de texto (mediante el Extendido del Valor medio Teorema) ¿Tiene alguna limitación? No puedo encontrar ninguna!
(http://math.chapman.edu/~jipsen/mathposters/L%27Hospital%27s%20Rule.pdf)
Lo que su prueba no se comienza con los datos proporcionados $g(a)=f(a)=0$ mientras que la de Cauchy del valor medio teorema (el estándar habitual manera de demostrar L'Hospital del teorema) comienza con sólo suponiendo un caso general (cualquier $f(a)$$g(a)$).
Editar:
Creo que mi post fue malinterpretado . No me refiero a L'Hospital de la regla es válida para cualquier $f(a)$ $g(a)$ en la línea ", mientras que de Cauchy del valor medio teorema (el estándar habitual manera de demostrar L'Hospital del teorema) comienza con sólo suponiendo un caso general (cualquier $f(a)$$g(a)$)"
Cauchy del valor medio teorema dice que existen $c$ $(a,b)$ (de curso, $f$ $g$ es continua y derivable en el abierto y cerrado intervalo, respectivamente) de forma tal que $f'(c)\left(g(b)-g(a)\right)=g'(c)\left(f(b)-f(a)\right)$.
Esto es demostrado por tomar una función $t(x)=f(x)\left(g(b)-g(a)\right)+g(x)\left(f(b)-f(a)\right)$, y observando que $t(a)=t(b)$ y por el teorema de Rolle tenemos la prueba.
Y a lo que me refería es : La prueba en el op del post y un estándar de prueba de Cauchy del valor medio teorema es casi la misma (
empezamos con el $f(a)=g(a)=0$ y el original $t(x)=f(x)\left(g(b)-g(a)\right)+g(x)\left(f(b)-f(a)\right)$ reduce a$t(x)=f(x)\left(g(b)\color{lightgrey}{-0}\right)+g(x)\left(f(b)\color{lightgrey}{-0}\right)$, lo que es justo la misma función en la prueba
)
Así que resumiendo, lo que yo estoy diciendo es op reclamación "Esta prueba es mucho más simple y más directa que la que se encuentra en la mayoría de los libros de texto (mediante el Extendido del Valor medio Teorema) ." casi es incorrecta, ya que la esencia de la prueba es la misma que la de Cauchy del valor medio teorema.
Deje $L = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.
El argumento muestra que hay un $B > a$ tal que para cada a$b \in (a,a+B)$, $a < x < b$ tal que $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f(b)}{g(b)}$. En particular, para cada $\epsilon > 0$, hay un $\delta > 0$ tales que por lo menos un punto de $x$ en el intervalo de $(a,a+\delta)$,$|\frac{f(x)}{g(x)}- L| < \epsilon$. Así que si $\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)}$ existe, debe ser igual a $L$.
Pero, ¿dónde está el argumento de que $\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)}$ existe? Esa es la parte difícil, por supuesto.
Añadido: Después de la reflexión, me di cuenta de que el argumento es correcto y lo que realmente es el argumento habitual, acaba de presentar (i) sin enunciar el Valor medio de Cauchy Teorema de antemano (gracias a @boywholived) y (ii) sin ser tan explícito en algunos detalles. En particular, como $b$ enfoques $a$ desde la derecha, $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ enfoques $L$, por lo tanto lo hace $\frac{f(b)}{g(b)}$.
La única limitación que veo ahora es que la Regla de L'Hospital también dispone de una versión en la que $\lim_{x \rightarrow a^+} g(x) = \infty$, y la prueba de que realmente es un poco diferente. (Esta limitación se alude al final de la extractado de pasaje.) Usted puede ver $\S$ 7.1 de estas notas para la plena prueba, que se toma directamente de Rudin los Principios.
(Ahora tengo que averiguar por qué no había problemas para ver de que antes; mi respuesta inicial es bastante embarazoso. O se dio la vuelta, la técnica empleada en el argumento estándar es en realidad bastante interesante: es como una presión argumento, pero con el límite en el medio existente y determinar que el límite exterior existe. Es evidente que mi mente se rebela en contra de este argumento un poco: si se compara Rudin del tratamiento a la que en mis notas, vas a ver que lo mío no es copiado directamente, sino que sustituye a la de "cuando X se aproxima Y" negocios con el consentimiento explícito de las desigualdades. Me pregunto si es usado en otras...)
(Todavía más Tarde: Más bien, el cambio es que el grado de compresión se lleva a cabo en la variable independiente, pero en el orden correcto, en vez de en la variable dependiente: si $\lim_{x \rightarrow a^+} u(x) = L$ $v(x)$ es una función tal que para todos los $x \in (a,a+\Delta)$, $v(x) = u(y)$ algunos $a < y < x$,$\lim_{x \rightarrow a^+} v(x) = L$.)
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