En Ahlfors Complejos de Análisis de texto, páginas 289-290, el autor discute continuación analítica a lo largo de los arcos. Entre otras cosas, demuestra la equivalencia con la continuación analítica con una cadena de la función elementos de $(f_k ,\Omega_k)$.
El hecho de que la función de dos elementos están relacionados por una cadena directa de la analítica de las continuaciones implica que un adecuado continuación analítica a lo largo de un arco que es posible para mí está claro. Sin embargo, en la página 290 Ahlfors está tratando de demostrar lo contrario. Es decir, que el arco de la continuación analítica puede ser "seguido" por una cadena directa de la analítica de las continuaciones, desde el punto inicial del arco a su punto final.
Sus palabras son:
Por el contrario, si $\bar{\gamma}$ es dado, podemos encontrar una cadena directa de la analítica de las continuaciones que sigue el arco de $\gamma$ en la misma forma que en la anterior construcción. De hecho, por Heine-Borel el lema de la paramétrico intervalo de $[a,b]$ se puede subdividir en $[a,t_1], [t_1,t_2], \dots , [t_{n-1},b]$ tal que $\bar{\gamma}(t)$ = $(f_k,\gamma(t))$ en $[t_{k-1},t_k]$ para los seleccionados adecuadamente la función de los elementos $(f_k,\Omega_k)$. A pesar de $(f_k,\Omega_k)$ $(f_{k+1},\Omega_{k+1})$ no necesita ser directa de la analítica de las continuaciones de cada uno de los otros, por lo menos son continuaciones directas de sus restricciones comunes a un barrio de $\gamma(t_k)$.
Estoy teniendo un tiempo difícil la comprensión de este. Que yo sepa el Heine Borel lema que caracteriza a los subconjuntos compactos de un espacio Euclídeo solo delimitada y compactas. El único conjunto que veo aquí que se encuentra en el espacio Euclidiano es el parámetro de intervalo de $[a,b]$ de la arc. Pero, incluso si el lema es aplicado, el resultado debe ser un número finito de abiertos subcover de $[a,b]$, mientras que los intervalos de $\{[t_{k-1},t_k]\}$ se cierra sólo.
Puede alguien por favor me ayude a entender esta prueba? Gracias!
P. S. Aquí $\bar{\gamma}:[a,b] \to \mathfrak{S_0}(\mathbf{f})$ toma valores en algunos de superficie de Riemann, y $\gamma= \pi \circ \bar{\gamma}:[a,b] \to \mathbb C$ es su proyección.
